Series telescópicas

Proporcionamos ejercicios sobre propiedades cálculo de sumas de las series telescópicas.

TEORÍA

1 Calcular la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\arctan\frac{1}{n+1}-\arctan\frac{1}{n}\right).$

SOLUCIÓN

2 Calcular la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+1)}.$

SOLUCIÓN

3 Calcular la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2+4n}.$

SOLUCIÓN

4  Demostrar que si $\sum_{n=1}^{+\infty} u_n$ es telescópica con $u_n=\varphi (n)-\varphi(n-1)$, su suma es  $$S=\left(\lim_{n\to +\infty} \varphi(n)\right)-\varphi (0),$$ en el supuesto de que exista $\lim_{n\to +\infty} \varphi(n).$

SOLUCIÓN

5  Sea la serie $\sum_{n=1}^{+\infty} u_n$  y supongamos que existe una función $\varphi$ tal que $u_n=\varphi (n+2)-\varphi(n)$ para todo $n$. Demostrar que la suma de la serie es $$S=2\lim_{n\to +\infty} \varphi(n)-\left(\varphi (1)+\varphi (2)\right),$$ en el supuesto de que exista $\lim_{n\to +\infty} \varphi(n).$

SOLUCIÓN

6 Calcular la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{-1}{n+1}-\arctan n+\arctan (n+1)\right).$

SOLUCIÓN

7 Calcular la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{-1}{n^2+5n+6}.$

SOLUCIÓN

8 Calcular la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{7}{(2n-1)(2n+1)}.$

SOLUCIÓN

9 Calcular la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{-3}{n^2+5n+4}.$

SOLUCIÓN

10 Calcular la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+q)},$ siendo $q$ un entero positivo.

SOLUCIÓN

11 Calcular la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\log \frac{n^2}{n^2-1}.$

SOLUCIÓN

12 Hallar la suma de la serie $$\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n!}{2^n\left(1+\frac{1}{2}\right)\ldots\left(1+\frac{n}{2}\right)}.$$

SOLUCIÓN
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