Funciones holomorfas f: Re (f) + Im (f) =1

Enunciado
Encontrar todas las funciones holomorfas $f(z),\;z\in \mathbb{C}$ que satisfacen la condición $a\;\mbox{Re }f(z)+b\;\mbox{Im }f(z)=1$ siendo $a,b$ constantes reales no simultáneamente nulas.

(Propuesto en examen, Amp. Calc., ETS de Ing. Industriales, UPM).

Solución
Denotando $f=u+iv$ en donde $u=\mbox{Re }f,\;v=\mbox{Im }f,$ tenemos $au+bv=1.$ Si $f$ es holomorfa en $\mathbb{C},$ existen las parciales de $u$ y $v$ en todo $\mathbb{R}^2$ y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann $u_v=v_y,\;u_y=-v_x.$ Derivando la igualdad $au+bv=1$ y usando las mencionadas ecuaciones:

$\left \{ \begin{matrix} au_x+bv_x=0\\ au_y+bv_y=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} av_y-bu_y=0\\ au_y+bv_y=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \begin{pmatrix}{a}&{-b}\\{b}&{\;\;a}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}{v_y}\\{u_y}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{0}\\{0}\end{pmatrix}\;.$

Como $a,b$ no son simultáneamente nulas, $a^2+b^2\neq 0$ lo cual implica que el sistema anterior tiene la única solución $u_y=v_y=0$ y como consecuencia $u_x=v_x=0.$

Esto implica $f’=u_x+iv_x=0$ en $\mathbb{C}$ y obligatoriamente $f$ ha de ser constante es decir, $f(z)=c_1+c_2i$ para todo $z\in \mathbb{C}$ y $c_1,c_2\in\mathbb{R}.$ Las funciones $f$ que cumplen las condiciones dadas son por tanto

$f(z)=c_1+c_2i\quad (c_1,c_2\in\mathbb{R},\;ac_1+bc_2=1).$

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