Series aritmético-geométricas

Proporcionamos ejemplos de suma de series aritmético-geométricas.

Enunciado
1. Hallar la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2n+5}{3^n}.$
2. Siendo $\left|r\right|<1,$ demostrar que $$i)\;\sum_{n=0}^{+\infty}cr^n=\frac{c}{1-r}.\quad ii)\;\sum_{n=0}^{+\infty}(an+b)r^n=\frac{b}{1-r}+\frac{ar}{(1-r)^2}.$$ Solución
Recordamos que se llama serie aritmético-geométrica a toda serie de la forma $$\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{P(n)}{k^n}\text{ con }P\text{ polinomio real y } k\in\mathbb{R}-\{0\}.$$ Al número $r=1/k$ se le llama razón de la serie aritmético-geométrica. Se verifica:
$i)$ Si $P(n)=c$ constante, la suma de la serie es $$\sum_{n=0}^{+\infty}cr^n=\frac{c}{1-r},\quad (\left|r\right|<1).$$ $ii)$ Si $P(n)=an+b,$ la suma de la serie es $$\sum_{n=0}^{+\infty}(an+b)r^n=\frac{b}{1-r}+\frac{ar}{(1-r)^2},\quad (\left|r\right|<1).$$ 1. Tenemos $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2n+5}{3^n}=\sum_{n=1}^{+\infty}(2n+5)\left(\frac{1}{3}\right)^n=-5+\sum_{n=0}^{+\infty}(2n+5)\left(\frac{1}{3}\right)^n$$ $$=-5+\frac{5}{1-1/3}+\frac{2(1/3)}{(1-1/3)^2}=4.$$ 2. $i)$ Usando el teorema del álgebra de series y el teorema relativo a la suma de series geométricas: $$\sum_{n=0}^{+\infty}cr^n=c\sum_{n=0}^{+\infty}r^n=c\cdot \frac{1}{1-r}=\frac{c}{1-r}.$$ $ii)$ Es inmediato comprobar que la serie $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}nr^n$ es convergente (criterio del cociente). Usando el teorema del álgebra de series: $$\sum_{n=0}^{+\infty}(an+b)r^n=a\sum_{n=0}^{+\infty}nr^n+b\sum_{n=0}^{+\infty}r^n=a\sum_{n=0}^{+\infty}nr^n+\frac{b}{1-r}.$$ Llamemos $H$ a la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}nr^n.$ Entonces: $$H=r+2r^2+3r^3+4r^4+\cdots,$$ $$rH=r^2+2r^3+3r^4+4r^5+\cdots,$$ y restando a la primera igualdad la segunda, queda $$H(1-r)=r+r^2+r^3+\cdots=-1+(1+r+r^2+r^3+\cdots)$$ $$=-1+\frac{1}{1-r}=\frac{r}{1-r}, \text{ por tanto }H=\frac{r}{(1-r)^2}.$$ Podemos concluir que $$\sum_{n=0}^{+\infty}(an+b)r^n=\frac{b}{1-r}+\frac{ar}{(1-r)^2}.$$

Esta entrada fue publicada en Cálculo/Análisis. Guarda el enlace permanente.