Número e y exponencial de una matriz

Se define la exponencial de una matriz como generalización de la exponencial real.

Enunciado
En la Enseñanza Media se define el número $e$ como el límite: $\displaystyle\lim_{m \to \infty}\left(1+\frac{1}{m}\right)^m,$ y de manera más general resulta ser $e^a=\displaystyle\lim_{m \to \infty}\left(1+\frac{1}{m}a\right)^m,$ donde $a$ es un número real cualquiera. Se puede intentar definir formalmente la exponencial de la matriz $A$ mediante

$(*)\qquad e^A=\displaystyle\lim_{m \to \infty}\left(I+\dfrac{1}{m}A\right)^m$

donde $A$ es una matriz real $n\times n,$ $I$ la identidad de orden $n\times n,$ y $n=1,2,3,\ldots$

Se pide:

a) Comprobar que la definición $(*)$ tiene sentido cuando $A$ es una matriz $2\times 2$ diagonal. Aplicar esta demostración para calcular $e^A$ cuando:

$A=\begin{bmatrix}{3}&{\;\;0}\\{0}&{-1}\end{bmatrix}\;.$

b) Comprobar que la definición $(*)$ tiene sentido también cuando $A$ es una matriz $2\times 2$ diagonalizable. Aplicar esta demostración para calcular $e^A$ cuando:

$A=\begin{bmatrix}{\;\;7}&{\;\;4}\\{-8}&{-5}\end{bmatrix}\;.$

c) Comprobar que la definición $(*)$ tiene aún sentido también cuando $A$ es una matriz $2\times 2$ no diagonalizable que admite forma de Jordan. Aplicar esta demostración para calcular $e^A$ cuando:

$A=\begin{bmatrix}{\;\;3}&{1}\\{-1}&{1}\end{bmatrix}\;.$

(Propuesto en examen, Álgebra, ETS Ing. de Montes, UPM).

Solución
a) Sea $A=\mbox{diag}(\lambda_1,\lambda_2).$ Entonces

$$\begin{aligned}I+\dfrac{1}{m}A&=\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{bmatrix}+\dfrac{1}{m}\begin{bmatrix}{\lambda_1}&{0}\\{0}&{\lambda_2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{1+\frac{\lambda_1}{m}}&{0}\\{0}&{1+\frac{\lambda_2}{m}}\end{bmatrix}\\
&\Rightarrow \left(I+\dfrac{1}{m}A\right)^m=\begin{bmatrix}{\left(1+\frac{\lambda_1}{m}\right)^m}&{0}\\{0}&{\left(1+\frac{\lambda_2}{m}\right)}\end{bmatrix}\;.
\end{aligned}$$

Usando la definición $(*):$

$\displaystyle\begin{aligned}
e^A&=\displaystyle\lim_{m \to \infty}\left(I+\dfrac{1}{m}A\right)^m=\displaystyle\lim_{m \to \infty}\begin{bmatrix}{\left(1+\dfrac{\lambda_1}{m}\right)^m}&{0}\\{0}&{\left(1+\dfrac{\lambda_2}{m}\right)^m}\end{bmatrix}\\
&=\begin{bmatrix}{\displaystyle\lim_{m \to \infty}\left(1+\frac{\lambda_1}{m}\right)^m}&{0}\\{0}&{\displaystyle\lim_{m \to \infty}\left(1+\frac{\lambda_2}{m}\right)^m}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{e^{\lambda_1}}&{0}\\{0}&{e^{\lambda_2}}\end{bmatrix}\;.
\end{aligned}$

En concreto, para la matriz $A$ dada es $e^{A}=\begin{bmatrix}{e^3}&{0}\\{0}&{e^{-1}}\end{bmatrix}.$

b) Si $A$ es diagonalizable entonces existe $P$ invertible tal que $A=PDP^{-1}.$ Entonces:

$I+\dfrac{1}{m}A=PIP^{-1}+\dfrac{1}{m}PDP^{-1}=P\left(I+\dfrac{1}{m}A\right)P^{-1}.$

Elevando a $m:$

$\displaystyle\begin{aligned}
\left(I+\frac{1}{m}A\right)^m&=P\left(I+\frac{1}
{m}D\right)P^{-1}P\left(I+\frac{1}
{m}D\right)P^{-1}\ldots P\left(I+\frac{1}
{m}D\right)P^{-1}\\
&=P\left(I+\frac{1}{m}D\right)^mP^{-1}.
\end{aligned}$

Por el apartado anterior, existe $e^D$ al ser $D$ diagonal y $P$ es constante (no depende de $m$). Tomando límites:

$\displaystyle\begin{aligned}
\displaystyle\lim_{m \to \infty} \left(I+\frac{1}{m}A\right)^m&=\displaystyle\lim_{m \to \infty}P\left(I+\frac{1}{m}D\right)^mP^{-1}\\
&=P\left[\displaystyle\lim_{m \to \infty}\left(I+\frac{1}{m}D\right)^m\right]P^{-1}\\
&=Pe^DP^{-1}.
\end{aligned}$

Es decir, existe $e^A$ y es igual a $Pe^DP^{-1}.$ Calculemos ahora la exponencial de la matriz dada. Valores propios:

$\begin{vmatrix}{7-\lambda}&{4}\\{-8}&{-5-\lambda}\end{vmatrix}=\lambda^2-2\lambda+3=0 \Leftrightarrow \lambda=3\;\vee\;\lambda=-1\mbox{ (simples)}.$

Al ser todos los valores propios simples, la matriz es diagonalizable. Subespacios propios:

$V_3\equiv \left \{ \begin{matrix} 4x_1+4x_2=0\\-8x_1-8x_2=0,\end{matrix}\right.\qquad V_{-1}\equiv \left \{ \begin{matrix} 8x_1+4x_2=0\\-8x_1-4x_2=0.\end{matrix}\right.$

Unas bases respectivas de estos subespacios propios son $e_1=(1,-1)^t$ y $e_2=(1,-2)^t.$ Por tanto, una matriz que cumple $A=PDP^{-1}$ es $P=\begin{bmatrix}{e_1}&{e_2}\end{bmatrix}.$ Entonces:

$e^A=\begin{bmatrix}{\;\;1}&{\;\;1}\\{-1}&{-2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{e^3}&{0}\\{0}&{e^{-1}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{\;\;1}&{\;\;1}\\{-1}&{-2}\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}{2e^3-e^{-1}}&{e^3-e^{-1}}\\{-2e^3+2e^{-1}}&{-e^3+2e^{-1}}\end{bmatrix}\;.$

c) Si $A\in\mathbb{R}^{2\times 2}$ no es diagonalizable pero tiene forma canónica de Jordan $J,$ ha de ser necesariamente del tipo $J=\begin{bmatrix}{\lambda}&{1}\\{0}&{\lambda}\end{bmatrix}.$ Entonces:

$$I+\dfrac{1}{m}J=\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{bmatrix}+\dfrac{1}{m}\begin{bmatrix}{\lambda}&{1}\\{0}&{\lambda}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{1+\frac{\lambda}{m}}&{\frac{1}{m}}\\{0}&{1+\frac{\lambda}{m}}\end{bmatrix}\\=\left(1+\frac{\lambda}{m}\right)I+\begin{bmatrix}{0}&{\frac{1}{m}}\\{0}&{0}\end{bmatrix}\;.$$

Como los dos últimos sumandos conmutan, podemos aplicar la fórmula del binomio de Newton. Además, el último sumando es una matriz nilpotente de orden $2,$ por tanto:

$$\begin{aligned}
\left(I+\frac{1}{m}J\right)^m&=\left(1+\frac{\lambda}{m}\right)^mI^m+m\left(1+\frac{\lambda}{m}\right)^{m-1}I^{m-1}\begin{bmatrix}{0}&{\frac{1}{m}}\\{0}&{0}\end{bmatrix}\\&=\left(1+\frac{\lambda}{m}\right)^mI+\left(1+\frac{\lambda}{m}\right)^{m-1}\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{0}&{0}\end{bmatrix}\;.
\end{aligned}$$

Usando la definición $(*):$

$e^J=\displaystyle\lim_{m \to \infty} \left(I+\frac{1}{m}J\right)^m=e^{\lambda}I+e^{\lambda}\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{0}&{0}\end{bmatrix}=e^{\lambda}\begin{bmatrix}{1}&{1}\\{0}&{1}\end{bmatrix}\;.$

Es decir, existe $e^J.$ Si $P$ es una matriz cumpliendo $A=PJP^{-1}$ entonces, razonando de manera análoga a la del apartado anterior deducimos que $e^A=Pe^JP^{-1}.$ Apliquemos ahora esta demostración al cálculo de la exponencial de la matriz dada. Valores propios:

$\begin{vmatrix}{3-\lambda}&{1}\\{-1}&{1-\lambda}\end{vmatrix}=\lambda^2-4\lambda+4=(\lambda-2)^2=0 \Leftrightarrow \lambda=2\mbox{ (doble)}.$

La dimensión del subespacio propio asociado al valor propio 2 es:

$\dim V_2=\mbox{rg}(A-2I)=2-\mbox{rg}\begin{bmatrix}{\;\;1}&{\;\;1}\\{-1}&{-1}\end{bmatrix}=2-1=1.$

En consecuencia la forma de Jordan de $A$ es $J=\begin{bmatrix}{2}&{1}\\{0}&{2}\end{bmatrix}.$

Fácilmente encontramos que una matriz satisfaciendo $A=PJP^{-1}$ es $P=\begin{bmatrix}{\;\;1}&{1}\\{-1}&{0}\end{bmatrix}.$ Entonces:

$$e^A=Pe^JP^{-1}=\begin{bmatrix}{\;\;1}&{1}\\{-1}&{0}\end{bmatrix}e^2\begin{bmatrix}{1}&{1}\\{0}&{1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{\;\;1}&{1}\\{-1}&{0}\end{bmatrix}^{-1}=e^2\begin{bmatrix}{\;\;2}&{1}\\{-1}&{0}\end{bmatrix}.$$

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