Potencia enésima de una matriz por diagonalización

Proporcionamos ejercicios sobre el cálculo de la potencia enésima de una matriz por diagonalización.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Sea $A$ una matriz cuadrada de orden $m$ con elementos en un cuerpo $\mathbb{K}$ y diagonalizable. Deducir la fórmula para $ A^n $ en función de la correspondiente matriz diagonal y la matriz de paso.
  2. Calcular la potencia enésima de la matriz $A=\begin{bmatrix}{1}&{-3}&{3}\\{3}&{-5}&{3}\\{6}&{-6}&{4}\end{bmatrix}\;.$
    Solución
  1. Al ser $ A $ diagonalizable, sabemos que existe una matriz invertible $P\in \mathbb{K}^{m\times m}$ tal que $P^{-1}AP=D$ siendo $D=\textrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_m)$ con $\lambda_i$ los correspondientes valores propios de $A$. Despejando $A$ obtenemos $A=PDP^{-1}$ y elevando a $n$:$$A^n=(PDP^{-1})(PDP^{-1})\ldots (PDP^{-1})=PD^nP^{-1}.$$
  2. Valores propios de $A$: $$\begin{aligned}
    &\begin{vmatrix}{1-\lambda}&{-3}&{3}\\{3}&{-5-\lambda}&{3}\\{6}&{-6}&{4-\lambda}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}{-2-\lambda}&{-3}&{3}\\{-2-\lambda}&{-5-\lambda}&{3}\\{0}&{-6}&{4-\lambda}\end{vmatrix}= \\&\begin{vmatrix}{-2-\lambda}&{-3}&{3}\\{0}&{-2-\lambda}&{0}\\{0}&{-6}&{4-\lambda}\end{vmatrix}=(-2-\lambda)^2(4-\lambda)=0
    \end{aligned}$$ (hemos sumado a la primera columna la segunda y posteriormente hemos restado a la segunda fila la primera). Los valores propios son por tanto $\lambda=4$ (simple), y $\lambda=-2$ (doble). La matriz $A$ tiene tres valores reales en $\mathbb{R}$ (repetidos o no). Por otra parte la dimensión del subespacio propio asociado a $\lambda=4$ es $1$ por ser $\lambda=4$ simple. La dimensión del subespacio propio asociado a $\lambda=-2$ es $$\dim V_{-2}=3-\text{rg }(A+2I)=3-\text{rg }\begin{bmatrix}{3}&{-3}&{3}\\{3}&{-3}&{3}\\{6}&{-6}&{6}\end{bmatrix}=3-1=2.$$ Por tanto, $A$ tiene tres valores propios reales y la dimensión de cada subespacio propio coincide con la multiplicidad del correspondiente valor propio: $A$ es diagonalizable en $\mathbb{R}$. Las ecuaciones de los subespacios propios son $$V_{4} \equiv \left \{ \begin{matrix} -3x_1-3x_2+3x_3=0\\ 3x_1-9x_2+3x_3=0 \\6x_1-6x_2=0,\end{matrix}\right. \quad V_{-2} \equiv \left \{ \begin{matrix} 3x_1-3x_2+3x_3=0\\ 3x_1-3x_2+3x_3=0 \\ 6x_1-6x_2+6x_3=0 ,\end{matrix}\right.$$ y unas bases respectivas $B_{4}=\{(1,1,2)\}$ y $B_{-2}=\{(1,1,0),(-1,0,1)\}$. Trasponiendo obtenemos la correspondiente matriz $ P $: $$P=\begin{bmatrix}{1}&{1}&{-1}\\{1}&{1}&{\;\;0}\\{2}&{0}&{\;\;1}\end{bmatrix}\;,$$ en consecuencia $$A^n=PD^nP^{-1}=\begin{bmatrix}{1}&{1}&{-1}\\{1}&{1}&{\;\;0}\\{2}&{0}&{\;\;1}\end{bmatrix}\;\begin{bmatrix}{4^n}&{0}&{0}\\{0}&{(-2)^n}&{0}\\{0}&{0}&{(-2)^n}\end{bmatrix}\;\begin{bmatrix}{1}&{1}&{-1}\\{1}&{1}&{\;\;0}\\{2}&{0}&{\;\;1}\end{bmatrix}^{-1}$$ $$=\ldots=\dfrac{1}{2}\begin{bmatrix}{4^n+(-2)^n}&{-4^n+(-2)^n}&{4^n-(-2)^n}\\{4^n-(-2)^n}&{-4^n+3(-2)^n}&{4^n-(-2)^n}\\{2\cdot 4^n-2(-2)^n}&{-2\cdot 4^n+2(-2)^n}&{2\cdot 4^n}\end{bmatrix}.$$
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