Suma de series numéricas por desarrollos en serie de funciones

Publicada el junio 13, 2014 por Fernando Revilla

Calculamos suma de series numéricas por desarrollos en serie de funciones

RESUMEN TEÓRICO
  • Teorema (Desarrollos en serie de algunas funciones).  Se verifican las igualdades:
    $\begin{aligned}1.\;\;e^x&=1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots +\dfrac{x^n}{n!}+\cdots\\
    &=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{x^k}{k!}\quad\left(\forall x\in\mathbb{R}\right).\end{aligned}$
    $\begin{aligned}2.\;\operatorname{sen}x&=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\cdots +\dfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots\\
    &=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!}\quad\left(\forall x\in\mathbb{R}\right).\end{aligned}$
    $\begin{aligned}3.\;\cos x&=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\cdots +\dfrac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}+\cdots\\
    &=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!}\quad\left(\forall x\in\mathbb{R}\right).\end{aligned}$
    $\begin{aligned}4.\;\operatorname{sh}x&=x+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}+\cdots +\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots\\
    &=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\quad\left(\forall x\in\mathbb{R}\right).\end{aligned}$
    $\begin{aligned}5.\;\operatorname{ch}{} x&=1+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+\cdots +\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots\\
    &=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{x^{2k}}{(2k)!}\quad\left(\forall x\in\mathbb{R}\right).\end{aligned}$
    $\begin{aligned}6.\;\arctan x&=x-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}-\cdots +\dfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1}+\cdots\\
    &=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^kx^{2k+1}}{2k+1
    }\quad \left(\left|x\right|<1\right).\end{aligned}$
    $\begin{aligned}7.\;\log (1+x)&=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\cdots +\dfrac{(-1)^{n+1}x^{n}}{n}+\cdots\\
    &=\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{k+1}x^{k}}{k}\quad\left(\forall x\in(-1,1]\right) .\end{aligned}$
    $\begin{aligned}8.\;\log (1-x)&=-x-\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}-\cdots -\dfrac{x^{n}}{n}-\cdots\\
    &=-\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\dfrac{x^{k}}{k}\quad\left(\forall x\in[-1,1)\right) .\end{aligned}$
    $\begin{aligned}9.\; (1+x)^p&=\binom{p}{0}+\binom{p}{1}x+\binom{p}{2}x^2\cdots +\binom{p}{n}x^n+\cdots\\
    &=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\binom{p}{k}x^k \quad \left(p\in\mathbb{R}\text{ y }\left|x\right|<1\right).\end{aligned}$
  • Nota.  Para todo $p\in\mathbb{R},$ se define: $$\displaystyle\binom{p}{0}=1,\quad\displaystyle\binom{p}{k}=\dfrac{p(p-1)(p-2)\cdots (p-k+1)}{k!}\quad \left(k=1,2,\ldots\right).$$
  • A veces dada una serie, podemos identificarla con alguna de las anteriores para un $x$ determinado.
  • Ejemplo. Sumemos la serie $$\frac{1}{2}-\frac{1}{8}+\frac{1}{24}-\frac{1}{64}+\cdots+\frac{(-1)^n}{n2^n}+\cdots.$$ La podemos expresar en la forma $$1/2-\frac{(1/2)^2}{2}+\frac{(1/2)^3}{3}-\frac{(1/2)^4}{64}+\cdots+\frac{(-1)^n(1/2)^n}{n}+\cdots.$$ Ahora bien, $$\log (1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\cdots +\dfrac{(-1)^{n+1}x^{n}}{n}+\cdots\quad \left(\forall x\in(-1,1]\right), $$ por tanto $$\displaystyle\frac{1}{2}-\frac{1}{8}+\frac{1}{24}-\frac{1}{64}+\cdots+\frac{(-1)^n}{n2^n}+\cdots=\log (1+1/2)=\log \frac{3}{2}.$$
    Enunciado
  1. Hallar la suma de las siguientes series, usando para ello desarrollos en serie conocidos. $$1)\;2+\dfrac{8}{6}+\dfrac{32}{120}+\dfrac{128}{5040}+\cdots.\quad 2)\;1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{24}+\dfrac{1}{720}+\cdots.$$
  2. Hallar la suma de las siguientes series, usando para ello desarrollos en serie conocidos. $$1)\;1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\cdots+\dfrac{(-1)^n}{n}+\cdots.\;\; 2)\;\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n\sqrt{3}}{3^{n+1}(2n+1)}.\;\; 3)\;\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{2^{n}n!}.$$
  3. Hallar la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n+e}{n!}\cdot 2^n.$
    Solución
  1. $1)$ $2+\dfrac{8}{6}+\dfrac{32}{120}+\dfrac{128}{5040}+\ldots=\dfrac{2}{1!}+\dfrac{2^3}{3!}+\dfrac{2^5}{5!}+\dfrac{2^7}{7!}+\ldots=\operatorname{senh}2.$
    $2)$ $\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1^2}{2!}+\dfrac{1^3}{4!}+\dfrac{1^4}{6!}+\ldots=\cosh 1.$
  2. $1)$ $1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\cdots+\dfrac{(-1)^n}{n}+\cdots=\log (1+1)=\log 2.$ $$2)\quad \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n\sqrt{3}}{3^{n+1}(2n+1)}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{3^{-1/2}3^{n+1}(2n+1)}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{3^{(2n+1)/2}(2n+1)}$$$$=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(\sqrt{3})^{2n+1}(2n+1)}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n(1/\sqrt{3})^{2n+1}}{2n+1}=\arctan\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\pi}{6}.$$ $3)$ $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2^{n}n!}=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(1/2)^n}{n!}=e^{1/2}=\sqrt{e}.$
  3. Podemos escribir$$\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n+e}{n!}\cdot 2^n=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n}{n!}\cdot 2^n+\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{e\cdot 2^n}{n!}=2\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n}{n!}\cdot 2^{n-1}+e\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{ 2^n}{n!}$$$$=2\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2^{n-1}}{(n-1)!}+e\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{ 2^n}{n!}=2\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{2^{n}}{n!}+e\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{ 2^n}{n!}.$$Por otra parte, $e^x=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}$ para todo $x\in\mathbb{R},$ por tanto$$\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n+e}{n!}\cdot 2^n=2e^2++e\cdot e^2=2e^2+e^3.$$
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