Suma de series numéricas por desarrollos en serie de funciones

Calculamos suma de series numéricas por desarrollos en serie de funciones

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Hallar la suma de las siguientes series, usando para ello desarrollos en serie conocidos. $$1)\;2+\dfrac{8}{6}+\dfrac{32}{120}+\dfrac{128}{5040}+\cdots.\quad 2)\;1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{24}+\dfrac{1}{720}+\cdots.$$
  2. Hallar la suma de las siguientes series, usando para ello desarrollos en serie conocidos. $$1)\;1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\cdots+\dfrac{(-1)^n}{n}+\cdots.\;\; 2)\;\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n\sqrt{3}}{3^{n+1}(2n+1)}.\;\; 3)\;\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{2^{n}n!}.$$
  3. Hallar la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n+e}{n!}\cdot 2^n.$
    Solución
  1. $1)$ $2+\dfrac{8}{6}+\dfrac{32}{120}+\dfrac{128}{5040}+\ldots=\dfrac{2}{1!}+\dfrac{2^3}{3!}+\dfrac{2^5}{5!}+\dfrac{2^7}{7!}+\ldots=\operatorname{senh}2.$
    $2)$ $\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1^2}{2!}+\dfrac{1^3}{4!}+\dfrac{1^4}{6!}+\ldots=\cosh 1.$
  2. $1)$ $1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\cdots+\dfrac{(-1)^n}{n}+\cdots=\log (1+1)=\log 2.$
    $2)$ $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n\sqrt{3}}{3^{n+1}(2n+1)}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{3^{-1/2}3^{n+1}(2n+1)}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{3^{(2n+1)/2}(2n+1)}\\=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(\sqrt{3})^{2n+1}(2n+1)}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n(1/\sqrt{3})^{2n+1}}{2n+1}=\arctan\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\pi}{6}.$
    $3)$ $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2^{n}n!}=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(1/2)^n}{n!}=e^{1/2}=\sqrt{e}.$
  3. Podemos escribir$$\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n+e}{n!}\cdot 2^n=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n}{n!}\cdot 2^n+\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{e\cdot 2^n}{n!}=2\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n}{n!}\cdot 2^{n-1}+e\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{ 2^n}{n!}$$$$=2\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2^{n-1}}{(n-1)!}+e\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{ 2^n}{n!}=2\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{2^{n}}{n!}+e\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{ 2^n}{n!}.$$Por otra parte, $e^x=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}$ para todo $x\in\mathbb{R},$ por tanto$$\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n+e}{n!}\cdot 2^n=2e^2++e\cdot e^2=2e^2+e^3.$$
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