Integral de (log z)^3 dz/z en un arco de circunferencia

Enunciado
Calcular la integral $I=\displaystyle\int_{1}^{i}\dfrac{\log^3z}{z}\;dz$ en el arco de circunferencia $\left|z\right|=1.$

(Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. Industriales, UNED).

Solución
Primer método. La función subintegral es analítica en un dominio que contiene al arco de circunferencia dado.

En consecuencia podemos aplicar la fórmula de Newton-Leibniz. Para hallar la correspondiente integral indefinida efectuamos el cambio de variable $w=\log z,$ con lo cual $dw=dz/z.$ Tenemos:

$\displaystyle\int \frac{\log^3z}{z}\;dz=\displaystyle\int w^3\;\frac{1}{z}\;z\;dw=\displaystyle\int w^3\;dw=\frac{w^4}{4}+C=\dfrac{\log^4z}{z}+C$

Por tanto:

$\displaystyle\begin{aligned}
I=&\left[\dfrac{\log^4z}{z}\right]_1^i=\dfrac{\log^4i}{4}-\dfrac{\log^41}{4}\\
&=\dfrac{(\log 1+\pi i/2)^4}{4}-\dfrac{0^4}{4}=\dfrac{\pi^4/16}{4}=\dfrac{\pi^4}{64}.
\end{aligned}$

Segundo método. Efectuando el cambio de variable $w=e^{i\theta}:$

$\displaystyle\begin{aligned}
I=&\displaystyle\int_0^{\pi/2}\dfrac{\log^3(e^{i\theta})}{e^{i\theta}}\;i\;e^{i\theta}\;d\theta=\displaystyle\int_0^{\pi/2}i(i\theta\log e)^3\;d\theta\\
&=\displaystyle\int_0^{\pi/2}i^4\theta^3\;d\theta=\left[\dfrac{\theta^4}{4}\right]_0^{\pi/2}=\dfrac{\pi^4}{64}.
\end{aligned}$

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