Puntos atraídos por el origen en un sistema diferencial

Enunciado
Determinar los puntos $M(a,b,c)$ que son atraídos por el origen (cuanto $t\to +\infty$) en el sistema diferencial $X’=AX.$

$A=\begin{bmatrix}{0}&{2}&{3}\\{2}&{1}&{2}\\{3}&{2}&{0}\end{bmatrix}\;.$

(Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM).

Solución
Hallemos los valores propios de $A.$ Restando a la tercera fila la primera y posteriormente sumando a la primera columna la tercera:

$\begin{vmatrix}{-\lambda}&{2}&{3}\\{2}&{1-\lambda}&{2}\\{3}&{2}&{-\lambda}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}{-\lambda}&{2}&{3}\\{2}&{1-\lambda}&{2}\\{3+\lambda}&{0}&{-3-\lambda}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}{3-\lambda}&{2}&{3}\\{4}&{1-\lambda}&{2}\\{0}&{0}&{-3-\lambda}\end{vmatrix}\\=
(-3-\lambda)(\lambda^2-4\lambda-5)=0\Leftrightarrow \lambda=5\;\vee\;\lambda=-1\;\vee\; \lambda=-3\mbox{ (simples)}.$

La matriz $A$ es por tanto diagonalizable en $\mathbb{R}.$ Sea $P\in\mathbb{R}^{3\times 3}$ una matriz invertible tal que $P^{-1}AP=D=\mbox{diag (5,-1,-3)},$ entonces la solución del sistema $X’=AX$ con la condición inicial $X(0)=(a,b,c)^t$ es:

$X(t)=e^{tA}\begin{bmatrix}{a}\\{b}\\{c}\end{bmatrix}=Pe^{tD}P^{-1}\begin{bmatrix}{a}\\{b}\\{c}\end{bmatrix}=P\begin{bmatrix}{e^{5t}}&{0}&{0}\\{0}&{e^{-t}}&{0}\\{0}&{0}&{e^{-3t}}\end{bmatrix}P^{-1}\begin{bmatrix}{a}\\{b}\\{c}\end{bmatrix}\;.$

Si $u,v,w$ son la primera, segunda y tercera columna de $A$ respectivamente y si $(a^*,b^*,c^*)^t=P^{-1}(a,b,c)^t,$ podemos expresar $X(t)$ en la forma vectorial:

$X(t)=\begin{bmatrix}{u}&{v}&{w}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{e^{5t}}&{0}&{0}\\{0}&{e^{-t}}&{0}\\{0}&{0}&{e^{-3t}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{a^*}\\{b^*}\\{c^*}\end{bmatrix}=a^*e^{5t}u+b^*e^{-t}v+c^*e^{-3t}w.$

Se verifica $\lim_{t \to{+}\infty}(b^*e^{-t}v+c^*e^{-3t}w)=0$ y $\lim_{t \to{+}\infty}e^{5t}=+\infty.$ Pero $u\neq 0$ al ser $P$ invertible, lo cual implica que $\lim_{t \to{+}\infty}X(t)=(0,0,0)^t$ si y sólo si $a^*=0.$ Hallemos una matriz $P$ para determinar $a^*.$ Los subespacios propios asociados a la matriz $A$ y una base de cada uno de ellos son:

$V_5\equiv \left \{ \begin{matrix} -5x_1+2x_2+3x_3=0\\\;\;\;2x_1-4x_2+2x_3=0\\\;\;\;3x_1+2x_2-5x_3=0\end{matrix}\right. \qquad B_{V_5}=\{(1,1,1)\}$

$V_{-1}\equiv \left \{ \begin{matrix} x_1+2x_2+3x_3=0\\2x_1+2x_2+2x_3=0\\3x_1+2x_2+x_3=0\end{matrix}\right. \qquad B_{V_{-1}}=\{(1,-2,1)\}$

$V_{-3}\equiv \left \{ \begin{matrix} 3x_1+2x_2+3x_3=0\\2x_1+2x_2+4x_3=0\\3x_1+2x_2+3x_3=0\end{matrix}\right. \qquad B_{V_{-3}}=\{(1,0,-1)\}.$

En consecuencia se verifica:

$\begin{bmatrix}{a^*}\\{b^*}\\{c^*}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{1}&{\;\;1}&{\;\;1}\\{1}&{-2}&{\;\;0}\\{1}&{\;\;1}&{-1}\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}{a}\\{b}\\{c}\end{bmatrix}=\dfrac{1}{6}\begin{bmatrix}{2}&{\;\;2}&{\;\;2}\\{1}&{-2}&{\;\;1}\\{3}&{\;\;0}&{-3}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{a}\\{b}\\{c}\end{bmatrix}\;.$

La condición $a^*=0$ es equivalente a $a+b+c=0.$ Podemos por tanto concluir que el conjunto de los puntos $M$ que son atraídos por el origen son los puntos de la forma $(-\alpha-\beta,\alpha,\beta)$ con $\alpha,\beta \in\mathbb{R}.$

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