Tres órbitas en un conjunto de nivel

Determinamos las tres órbitas que componen un conjunto de nivel de un sistema autónomo dado.

Enunciado
Dado el sistema

$\left \{ \begin{matrix}x’=y^2\\y’=x^2\end{matrix}\right.$

determinar una integral primera $F(x,y)$ no constante del mismo. Comprobar. Dibujar las órbitas que determina el conjunto de nivel que pasa por el origen.

Solución
Expresando el sistema en la forma

$\left \{ \begin{matrix}\dfrac{dx}{dt}=y^2\\\dfrac{dy}{dt}=x^2\end{matrix}\right.$

y dividiendo la segunda ecuación entre la primera, obtenemos $dy/dx=x^2/y^2$ o bien $y^2\;dy-x^2\;dx=0$ cuya solución general es $y^3-x^3=C$. Una integral primera del sistema es por tanto $F(x,y)=y^3-x^3$. Comprobemos:

$\left<\nabla F,v\right>=-3x^2y^2+3y^2x^2=0.$

El conjunto de nivel que pasa por el origen es $y^3-x^3=0$ o equivalentemente $y=x$. El único punto de equilibrio del sistema es el origen, que pasa por este conjunto de nivel, por tanto, determina tres órbitas: el origen y las semirectas $y=x\;(x>0),\;y=x\;(x<0)$. Podemos determinar el sentido de recorrido de las semirectas hallando el vector velocidad: $v(a,a)=(a^2,a^2)=(+,+)$.

Tres órbitas en un conjunto de nivel

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