Convergencia de las series de Riemann

Demostramos el teorema acerca de la convergencia o divergencia de las series de Riemann.

Enunciado
Se consideran la series de Riemann $$\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^p},\;p\in\mathbb{R}.$$ Analizar su convergencia usando el criterio integral y el teorema de la condición necesaria.

Solución
Para $p\neq 1$ se verifica $$\int \frac{1}{x^p}dx=\int x^{-p}dx=\frac{x^{-p+1}}{-p+1}=\frac{1}{1-p}\cdot\frac{1}{x^{p-1}}+C.$$Primer caso: $p>1.$ Entonces, la función $f(x)=1/x^p$ cumple evidentemente las hipótesis del criterio integral. Tenemos$$\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p}=\lim_{b\to +\infty}\int_1^{b}\frac{dx}{x^p}=\lim_{b\to +\infty}\left[\frac{1}{1-p}\cdot\frac{1}{x^{p-1}}\right]_1^b$$$$=\lim_{b\to +\infty}\frac{1}{1-p}\left(\frac{1}{b^{p-1}}-1\right)=\frac{1}{1-p}\left(0-1\right)=\frac{1}{p-1}.$$
La integral es convergente, por tanto también lo es la serie.

Segundo caso: $0<p<1.$ La función $f(x)=1/x^p$ cumple evidentemente las hipótesis del criterio integral. Procediendo de manera análoga al caso anterior:$$\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p}=\lim_{b\to +\infty}\frac{1}{1-p}\left(\frac{1}{b^{p-1}}-1\right)=\frac{1}{1-p}\left(+\infty-1\right)=+\infty.$$La integral es divergente, por tanto también lo es la serie.

Tercer caso: $p=1.$ También la función $f(x)=1/x$ cumple evidentemente las hipótesis del criterio integral. Tenemos$$\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x}=\lim_{b\to +\infty}\int_1^{b}\frac{dx}{x}=\lim_{b\to +\infty}\left[\;\log\left|x\right|\;\right]_1^b$$$$=\lim_{b\to +\infty}\left(\log b-\log 1\right)=+\infty -0=+\infty.$$La integral es divergente, por tanto también lo es la serie.

Cuarto caso: $p\leq 0.$ En este caso$$\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n^p}=\lim_{n\to +\infty}n^{-p}=\left \{ \begin{matrix}  1& \mbox{ si }&p=0& \\+\infty & \mbox{ si }&p<0.\end{matrix}\right.$$El límite del término enésimo de la serie no es $0,$ por tanto la serie es divergente. Concluimos pues que una  serie de Riemann es  convergente, si y sólo si, $p>1.$