Valores propios de una matriz nilpotente

En este problema se analizan los valores propios de una matriz nilpotente.

Enunciado
Sea $A$ matriz cuadrada nilpotente, es decir existe un entero positivo $m$ tal que $A^m=0$. Se pide:
$(a)$ Demostrar que $\lambda=0$ es valor propio de $A$.
$(b)$ Demostrar que $\lambda=0$ es el único valor propio de $A$.

Solución
$(a)$ Existe $m$ entero positivo tal que $A^m=0$. Tomando determinantes queda $|A^m|=|A|^m=0$, por tanto $|A|=0$. Entonces, $|A-0I|=0$ lo cual implica que $\lambda=0$ es valor propio de $A$.

$(b)$ Si $\lambda$ valor propio de $A$, existe un vector columna $x$ no nulo tal que $Ax=\lambda x$. Ahora bien, $$A^2x=A(Ax)=A(\lambda x)=\lambda Ax=\lambda^2x,\\
A^3x=A(A^2x)=A(\lambda^2 x)=\lambda^2 Ax=\lambda^3x,\\
\ldots$$Deducimos inmediatamente por inducción que $A^mx=\lambda^mx$. Pero $A^m=0$ con lo cual queda $\lambda^mx=0$ con $x\neq 0$. Esto implica $\lambda^m=0$, luego $\lambda=0$.

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