Integral definida como límite de sumas

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Sea $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ una función continua. Demostrar las fórmulas:$$\int_a^bf(x)\;dx=\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{b-a}{n}f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right),\\\int_a^bf(x)\;dx=\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=1}^n\frac{b-a}{n}f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right).$$
  2. Calcular $\displaystyle\int_1^{10}(1+x)\;dx$ por medio del límite de una sucesión de sumas integrales.
  3. Calcular $\displaystyle\int_0^{a}x^2dx$ por medio del límite de una sucesión de sumas integrales.
    Solución
  1. La longitud de cada subintervalo es $(b-a)/n.$ Los correspondientes subintervalos son$$\left[a,a+\frac{b-a}{n}\right],\;\left[a+\frac{b-a}{n},a+2\frac{b-a}{n}\right],\;\left[a+2\frac{b-a}{n},a+3\frac{b-a}{n}\right],\\
    \ldots,\left[a+(n-1)\frac{b-a}{n},a+n\frac{b-a}{n}\right].$$ Eligiendo el extremo izquierdo de cada subintervalo:$$\int_a^bf(x)\;dx=\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{b-a}{n}f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right).$$ Eligiendo el extremo derecho:$$\int_a^bf(x)\;dx=\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=1}^n\frac{b-a}{n}f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right).$$
  2. Particionamos $[1,10]$ en $n$ partes iguales. La longitud de cada intervalo será $(10-1)/n=9/n.$ La partición correspondiente es: $$1,1+1\cdot\dfrac{9}{n},1+2\cdot\dfrac{9}{n},\ldots,1+n\cdot\dfrac{9}{n}=10.$$ Elijamos como punto de cada subintervalo el extremo izquierdo del mismo. La suma integral correspondiente será:$$\begin{aligned}S_n&=f(1)\cdot \frac{9}{n}+f\left(1+1\cdot\dfrac{9}{n}\right)\cdot\frac{9}{n}+f\left(1+2\cdot\dfrac{9}{n}\right)\cdot\frac{9}{n}\\
    &+\cdots+f\left(1+(n-1)\cdot\dfrac{9}{n}\right)\cdot\frac{9}{n}\\
    &=\dfrac{9}{n}\left[2+\left(2+1\cdot\frac{9}{n}\right)+\left(2+2\cdot\frac{9}{n}\right)+\cdots+\left(2+(n-1)\cdot\frac{9}{n}\right)\right].\end{aligned}$$ Simplifiquemos la expresión anterior usando la conocida fórmula $$1+2+\cdots+(n-1)=\frac{(n-1)n}{2}.$$$$\begin{aligned}S_n&=\dfrac{9}{n}\left[2n+\frac{9}{n}\frac{(n-1)n}{2}\right]=\dfrac{9}{n}\frac{4n^2+9n^2-9n}{2n}\\
    &=\frac{117n^2-81n}{2n^2}.
    \end{aligned}$$ Por tanto, $$\displaystyle\int_1^{10}(1+x)\;dx=\lim_{n\to +\infty}S_n=\lim_{n\to +\infty}\frac{117n^2-81n}{2n^2}=\frac{117}{2}.$$
  3. Particionamos $[0,a]$ en $n$ partes iguales. La longitud de cada intervalo será $a/n.$ La partición correspondiente es: $$0,\;\dfrac{a}{n},\;\dfrac{2a}{n},\ldots,\;\dfrac{na}{n}=a.$$ Elijamos como punto de cada subintervalo el extremo derecho del mismo. La suma integral correspondiente será:$$\begin{aligned}S_n&=f\left(\frac{a}{n}\right)\cdot \frac{a}{n}+f\left(\dfrac{2a}{n}\right)\cdot\frac{a}{n}+f\left(\dfrac{3a}{n}\right)\cdot\frac{a}{n}
    +\cdots+f\left(\frac{na}{n}\right)\cdot\frac{a}{n}\\
    &=\dfrac{a}{n}\left(\frac{a^2}{n^2}+\frac{2^2a^2}{n^2}+\frac{3^2a^2}{n^2}+\cdots+\frac{n^2a^2}{n^2}\right)\\
    &=\frac{a^3}{n^3}\left(1^2+2^2+3^3+\cdots+n^2\right).\end{aligned}$$ Usando la conocida fórmula $$1^2+2^3+3^2+\ldots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6},$$ obtenemos la integral pedida:$$\int_0^{a}x^2dx=\lim_{n\to +\infty}S_n=\lim_{n\to +\infty}\dfrac{a^3n(n+1)(2n+1)}{6n^3}=\frac{a^3}{3}.$$
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