Cálculo de límites de sucesiones mediante integrales

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Calcular $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+\frac{3}{n^2}+\cdots+\frac{n-1}{n^2}\right).$
  2. Calcular $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\cdots+\frac{1}{n+n}\right).$
  3. Calcular $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{1^p+2^p+3^p+\cdots+n^p}{n^{p+1}}\quad (p>0).$
  4. Calcular $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{k^2}{n^2}.$
  5. Relacionar el límite $$\displaystyle\lim_{n\to \infty}\left(\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\ldots+\dfrac{1}{n+n}\right)$$ con la integral $\displaystyle\int_1^2\dfrac{1}{x}\;dx$. Calcular el límite anterior.
    Solución
  1. Llamemos $L$ al límite pedido. Entonces,$$\begin{aligned}L&=\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n}\left(\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\frac{3}{n}+\cdots+\frac{n-1}{n}\right)\\
    &=\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{k}{n}=\int_0^1x\;dx=\frac{1}{2}.\end{aligned}$$
  2. Llamemos $L$ al límite pedido. Entonces,$$\begin{aligned}L&=\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n}\cdot n\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\cdots+\frac{1}{n+n}\right)\\
    &=\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n+k}=\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+k/n}=\int_0^1\frac{dx}{1+x}.\end{aligned}$$ Por tanto,$$L=\int_0^1\frac{dx}{1+x}=\left[\log (1+x)\right]_0^1=\log 2.$$
  3. Tenemos $$\begin{aligned}L&=\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n}\left(\left(\frac{1}{n}\right)^p+\left(\frac{2}{n}\right)^p+\cdots+\left(\frac{n}{n}\right)^p\right)\\&=\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^p=\int_0^1x^pdx=\left[\frac{x^{p+1}}{p+1}\right]_0^1=\frac{1}{p+1}.\end{aligned}$$
  4. Tenemos $$L=\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\left(\frac{k}{n}\right)^2=\int_0^1x^2dx=\left[\frac{x^2}{3}\right]_0^1=\frac{1}{3}.$$
  5. La función $f(x)=1/x$ es continua en el intervalo $[1,2]$. Dividiendo este intervalo en $n$ partes iguales obtenemos la partición $$ x_0=1,\;x_1=1+\dfrac{1}{n},\;x_2=1+\dfrac{2}{n},\;\ldots,\;x_n=1+\dfrac{n}{n} $$La integral de Riemann de la función $f(x)=1/x$ en $[1,2]$ es $$\displaystyle\int_1^2dx/x=\displaystyle\lim_{n\to \infty}S_n,$$ siendo $$\displaystyle\begin{aligned} S_n&=f\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\dfrac{1}{n}+f\left(1+\dfrac{2}{n}\right)\dfrac{1}{n}+\ldots+f\left(1+\frac{n}{n}\right)\dfrac{1}{n}\\
    &=f\left(\dfrac{n+1}{n}\right)\dfrac{1}{n}+f\left(\dfrac{n+2}{n}\right)\dfrac{1}{n}+\ldots+f\left(\frac{n+n}{n}\right)\dfrac{1}{n}\\
    &=\dfrac{n}{n+1}\dfrac{1}{n}+\dfrac{n}{n+2}\dfrac{1}{n}+\ldots+\dfrac{n}{n+n}\dfrac{1}{n}\\
    &=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\ldots+\dfrac{1}{n+n}
    \end{aligned}$$ El límite pedido es por tanto $$\displaystyle\lim_{n \to \infty}S_n=\displaystyle\int_1^2\dfrac{1}{x}\;dx=\left[\log x\right]_1^2=\log 2 -\log 1=\log 2$$
Esta entrada fue publicada en Cálculo/Análisis. Guarda el enlace permanente.