Diferenciabilidad en varias variables

TEORÍA

1 Se considera la función $f(x,y)=(x^3+y,\log xy, \sqrt{x^2+y^2}).$ Demostrar que es diferenciable en $(1,1)$ y hallar su diferencial en este punto.

SOLUCIÓN

2 Sea la función  $\quad f(x,y)=\left \{ \begin{matrix}  \displaystyle\frac{xy^2}{x^2+y^4} & \mbox{ si }& (x,y)\neq (0,0)\\0 & \mbox{si}& (x,y)=0.\end{matrix}\right.$
Estudiar
$(i)\;$ Su continuidad en $a=(0,0).$
$(ii)\;$ Existencia de derivadas parciales en $a=(0,0).$
$(iii)\;$ Diferenciablildad en $a=(0,0).$

SOLUCIÓN

3 Sea la función $\quad f(x,y)=\left \{ \begin{matrix} x\sin \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2} & \mbox{ si }& (x,y)\neq (0,0)\\0 & \mbox{si}& (x,y)=0.\end{matrix}\right.$
Estudiar
$(i)\;$ Su continuidad en $a=(0,0).$
$(ii)\;$ Existencia de derivadas parciales en $a=(0,0).$
$(iii)\;$ Diferenciablildad en $a=(0,0).$

SOLUCIÓN

4 Sea la función $\quad f(x,y)=\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} & \mbox{ si }& (x,y)\neq (0,0)\\0 & \mbox{si}& (x,y)=0.\end{matrix}\right.$
Estudiar
$(i)\;$ Su continuidad en $a=(0,0).$
$(ii)\;$ Existencia de derivadas parciales en $a=(0,0).$
$(iii)\;$ Diferenciablildad en $a=(0,0).$

SOLUCIÓN

5 Sea la función $\quad f(x,y)=\left \{ \begin{matrix} (x^2+y^2)\sin \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} & \mbox{ si }& (x,y)\neq (0,0)\\0 & \mbox{si}& (x,y)=0.\end{matrix}\right.$
Estudiar
$(i)\;$ Su continuidad en $a=(0,0).$
$(ii)\;$ Existencia de derivadas parciales en $a=(0,0).$
$(iii)\;$ Diferenciablildad en $a=(0,0).$

SOLUCIÓN

6 Sea la función $\quad f(x,y)=e^{3x+2y}.$
Estudiar
$(i)\;$ Su continuidad en $a=(0,0).$
$(ii)\;$ Existencia de derivadas parciales en $a=(0,0).$
$(iii)\;$ Diferenciablildad en $a=(0,0).$

SOLUCIÓN

7  Sea $I$ un intervalo abierto real y $a\in I.$ Demostrar que $f$ es diferenciable en $a$ si y sólo si $f$ es derivable en $a.$

SOLUCIÓN

8  Sea la aplicación  $f:A\subset \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$ con $A$ abierto y $a\in A.$ Demostrar que si  $f$ es diferenciable en $a$ entonces, la aplicación lineal $\lambda$ que satisface $$\lim_{h\to 0}\frac{\left\|f(a+h)-f(a)-\lambda (h)\right\|}{\left\|h\right\|}=0,\qquad (1)$$ es única.

SOLUCIÓN

9  Sea la aplicación  $f:A\subset \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$ con $A$ abierto y $a\in A.$ Demostrar que si $f$ es diferenciable en $a,$ entonces es comtinua en $a.$

SOLUCIÓN

10  Sea la aplicación  $f:A\subset \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ con $A$ abierto y $a\in A.$
$1.\;$ Demostrar que si $f$ es diferenciable en $a$ existe la derivada de  $f$ en ese punto según cualquier vector $v\in\mathbb{R}^n$ y además $D_vf(a)=Df(a)v.$
$2.\;$ Calcular $D_{(2,3)}f(1,1)$ siendo $f(x,y)=x^2y.$

SOLUCIÓN
Esta entrada fue publicada en Cálculo/Análisis. Guarda el enlace permanente.