Diferenciabilidad en varias variables

Estudiamos el concepto de diferenciabilidad en varias variables y sus propiedades.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Se considera la función $f(x,y)=(x^3+y,\log xy, \sqrt{x^2+y^2}).$ Demostrar que es diferenciable en $(1,1)$ y hallar su diferencial en este punto.
  2. Sea la función $\quad f(x,y)=\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\frac{xy^2}{x^2+y^4} & \mbox{ si }& (x,y)\neq (0,0)\\0 & \mbox{si}& (x,y)=0.\end{matrix}\right.$
    Estudiar
    $(i)\;$ Su continuidad en $a=(0,0).$
    $(ii)\;$ Existencia de derivadas parciales en $a=(0,0).$
    $(iii)\;$ Diferenciablildad en $a=(0,0).$
  3. Sea la función $\quad f(x,y)=\left \{ \begin{matrix} x\sin \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2} & \mbox{ si }& (x,y)\neq (0,0)\\0 & \mbox{si}& (x,y)=0.\end{matrix}\right.$
    Estudiar
    $(i)\;$ Su continuidad en $a=(0,0).$
    $(ii)\;$ Existencia de derivadas parciales en $a=(0,0).$
    $(iii)\;$ Diferenciablildad en $a=(0,0).$
  4. Sea la función $\quad f(x,y)=\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} & \mbox{ si }& (x,y)\neq (0,0)\\0 & \mbox{si}& (x,y)=0.\end{matrix}\right.$
    Estudiar
    $(i)\;$ Su continuidad en $a=(0,0).$
    $(ii)\;$ Existencia de derivadas parciales en $a=(0,0).$
    $(iii)\;$ Diferenciablildad en $a=(0,0).$
  5. Sea la función $\quad f(x,y)=\left \{ \begin{matrix} (x^2+y^2)\sin \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} & \mbox{ si }& (x,y)\neq (0,0)\\0 & \mbox{si}& (x,y)=0.\end{matrix}\right.$
    Estudiar
    $(i)\;$ Su continuidad en $a=(0,0).$
    $(ii)\;$ Existencia de derivadas parciales en $a=(0,0).$
    $(iii)\;$ Diferenciablildad en $a=(0,0).$
  6. Sea la función $\quad f(x,y)=e^{3x+2y}.$
    Estudiar
    $(i)\;$ Su continuidad en $a=(0,0).$
    $(ii)\;$ Existencia de derivadas parciales en $a=(0,0).$
    $(iii)\;$ Diferenciablildad en $a=(0,0).$
  7. Sea $I$ un intervalo abierto real y $a\in I.$ Demostrar que $f$ es diferenciable en $a$ si y sólo si $f$ es derivable en $a.$
  8. Sea la aplicación $f:A\subset \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$ con $A$ abierto y $a\in A.$ Demostrar que si $f$ es diferenciable en $a$ entonces, la aplicación lineal $\lambda$ que satisface $$\lim_{h\to 0}\frac{\left\|f(a+h)-f(a)-\lambda (h)\right\|}{\left\|h\right\|}=0,\qquad (1)$$ es única.
  9. Sea la aplicación $f:A\subset \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$ con $A$ abierto y $a\in A.$ Demostrar que si $f$ es diferenciable en $a,$ entonces es comtinua en $a.$
  10. Sea la aplicación $f:A\subset \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ con $A$ abierto y $a\in A.$
    $a.\;$ Demostrar que si $f$ es diferenciable en $a$ existe la derivada de $f$ en ese punto según cualquier vector $v\in\mathbb{R}^n$ y además $D_vf(a)=Df(a)v.$
    $b.\;$ Calcular $D_{(2,3)}f(1,1)$ siendo $f(x,y)=x^2y.$
    Solución
  1. Las funciones componentes de $f$ son $$f_1(x,y)=x^3+y,\quad f_2(x,y)=\log xy,\quad f_3(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}.$$ Las parciales de estas funciones en un abierto $A$ que contiene a $(1,1)$ son $$\frac{\partial f_1}{\partial x}=3x^2,\quad \frac{\partial f_1}{\partial y}=1,$$ $$\frac{\partial f_2}{\partial x}=\frac{1}{x},\quad \frac{\partial f_2}{\partial y}=\frac{1}{y},$$ $$\frac{\partial f_3}{\partial x}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\quad \frac{\partial f_3}{\partial y}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}.$$ Estas parciales son continuas en $(1,1),$ luego $f$ es diferenciable en $(1,1).$ La diferencial en este punto es $$(Df)(1,1)\begin{bmatrix}{h_1}\\ h_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x}(1,1)) & \frac{\partial f_1}{\partial y}(1,1) \\ \frac{\partial f_2}{\partial x}(1,1) & \frac{\partial f_2}{\partial y}(1,1) \\ \frac{\partial f_3}{\partial x}(1,1) & \frac{\partial f_3}{\partial y}(1,1) \end{bmatrix}\begin{bmatrix}{h_1}\\ h_2\end{bmatrix}$$ $$=\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1\\ 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{h_1}\\ h_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{3h_1+h_2}\\ h_1+h_2\\h_1/\sqrt{2}+h_2/\sqrt{2}\end{bmatrix}.$$
  2. $(i)$ Veamos que no existe límite de la función cuando $(x,y)\to (0,0).$ Fácilmente podemos comprobar que los límites según direeciones y según parábolas $y=\alpha x^2$ son $0$ , lo cual no asegura la existencia de límite. Hallemos los límites según las parábolas $C_{\alpha}:\;x=\alpha y^2.$ $$\displaystyle\lim_{(x,y) \to (0,0)\;,\; (x,y)\in C_{\alpha}}{f(x,y)}=\displaystyle\lim_{y \to 0}{\displaystyle\frac{\alpha y^4}{\alpha ^2y^4+y^4}}=\displaystyle\frac{\alpha}{\alpha^2+1}.$$ El límite depende de $\alpha$ lo cual implica que no existe límite: la función no es continua en $a=(0,0).$
    $(ii)$ Derivadas parciales. $$\dfrac{{\partial f}}{{\partial x}}(0,0)=\displaystyle\lim_{h \to 0}{\displaystyle\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}}=\displaystyle\lim_{h \to 0}{\displaystyle\frac{0/h^2}{h}}=\displaystyle\lim_{h \to 0}0=0,\\ \dfrac{{\partial f}}{{\partial y}}(0,0)=\displaystyle\lim_{h \to 0}{\displaystyle\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}}=\displaystyle\lim_{h \to 0}{\displaystyle\frac{0/h^4}{h}}=\displaystyle\lim_{h \to 0}0=0 .$$
    $(iii)$ Al no ser continua en $(0.0)$, $f$ no es diferenciable en este punto.
  3. $(i)$ Para $(x,y)\to (0,0)$, $x$ es infinitésimo y $\sin\dfrac{1}{x^2+y^2}$ está acotada, en consecuencia $$\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y)=0=f(0,0),$$ luego la función es continua en $(0,0).$
    $(ii)$ Derivadas parciales $$\dfrac{{\partial f}}{{\partial x}}(0,0)=\displaystyle\lim_{h \to 0}{\displaystyle\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}}=\displaystyle\lim_{h \to 0}{\displaystyle\frac{h\sin(1/h^2)}{h}}=\displaystyle\lim_{h \to 0}\sin(1/h^2)$$
    Como $1/h^2\to +\infty$ cuando $h\to 0$, no existe el límite anterior.$$\dfrac{{\partial f}}{{\partial y}}(0,0)=\displaystyle\lim_{h \to 0}{\displaystyle\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}}=\displaystyle\lim_{h \to 0}{\displaystyle\frac{0}{h}}=\displaystyle\lim_{h \to 0}0=0.$$
    $(iii)$ Al no existir todas las parciales en $(0,0)$, $f$ no es diferenciable en este punto.
  4. $(i)$ Usando coordenadas polares, $xy/\sqrt{x^2+y^2}=\rho \cos \theta\sin \theta. $ Pero $\rho\to 0$ y $\cos \theta\sin \theta$ está acotado, en consecuencia $\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y)=0=f(0,0)$ : la función es continua en $(0,0).$
    $(ii)$ Derivadas parciales$$\dfrac{{\partial f}}{{\partial x}}(0,0)=\displaystyle\lim_{h \to 0}{\displaystyle\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}}=\displaystyle\lim_{h \to 0}{\displaystyle\frac{0/\sqrt{h^2}}{h}}=\displaystyle\lim_{h \to 0}0=0,\\ \dfrac{{\partial f}}{{\partial y}}(0,0)=\displaystyle\lim_{h \to 0}{\displaystyle\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}}=\displaystyle\lim_{h \to 0}{\displaystyle\frac{0/\sqrt{h^2}}{h}}=\displaystyle\lim_{h \to 0}0=0.$$
    $(iii)$ La función puede ser diferenciable en $a=(0,0).$ Si es diferenciable, la única posible diferencial $\lambda:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ es $$\lambda (h,k)=\left(\frac{{\partial f}}{{\partial x}}(0,0),\frac{{\partial f}}{{\partial y}}(0,0)\right)\begin{pmatrix}{h}\\{k}\end{pmatrix}=(0,0)\begin{pmatrix}{h}\\{k}\end{pmatrix}=0.$$ La función será diferenciable en $(0,0)$ si y sólo si $$\displaystyle\lim_{(h,k) \to (0,0)}\dfrac{\left|f(h,k)-f(0,0)-\lambda (h,k)\right|}{\sqrt{h^2+k^2}}=0 .$$ Pero pasando a coordenadas polares tenemos $$\dfrac{\left|f(h,k)-f(0,0)-\lambda (h,k)\right|}{\sqrt{h^2+k^2}}=\left|\cos \theta\sin \theta\right|,$$ es decir, los límites según $\theta$ varían y como consecuencia no existe límite: $f$ no es diferenciable en $(0,0).$
  5. $(i)$ Para $(x,y)\to (0,0)$, $x^2+y^2\to 0$ y $\sin (1/\sqrt{x^2+y^2})$ está acotada, por tanto $\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y)=0=f(0,0)$ : la función es continua en $(0,0).$
    $(ii)$ Derivadas parciales $$\dfrac{{\partial f}}{{\partial x}}(0,0)=\displaystyle\lim_{h \to 0}{\displaystyle\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}}=\displaystyle\lim_{h \to 0}{\displaystyle\frac{h^2\sin \dfrac{1}{|h|}}{h}}=\displaystyle\lim_{h \to 0}h\sin \dfrac{1}{|h|}=0,\\ \dfrac{{\partial f}}{{\partial y}}(0,0)=\displaystyle\lim_{h \to 0}{\displaystyle\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}}=\displaystyle\lim_{h \to 0}{\displaystyle\frac{ h^2\sin \dfrac{1}{|h|} }{h}}=\displaystyle\lim_{h \to 0}h\sin \dfrac{1}{|h|}=0.$$
    $(iii)$ La función puede ser diferenciable en $a=(0,0).$ Si es diferenciable, la única posible diferencial $\lambda:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ es $$\lambda (h,k)=\left(\frac{{\partial f}}{{\partial x}}(0,0),\frac{{\partial f}}{{\partial y}}(0,0)\right)\begin{pmatrix}{h}\\{k}\end{pmatrix}=(0,0)\begin{pmatrix}{h}\\{k}\end{pmatrix}=0.$$ Pasando a coordenadas polares tenemos $$\displaystyle\lim_{(h,k) \to (0,0)}\dfrac{\left|f(h,k)-f(0,0)-\lambda (h,k)\right|}{\sqrt{h^2+k^2}}=\displaystyle\lim_{\rho \to 0} \rho \left|\sin (1/\rho)\right|=0.$$ Es decir, $f$ es diferenciable en $(0,0).$
  6. $(i)$ Claramente $f$ es continua en $(0,0)$ (teorema de continuidad de las funciones elementales).
    $(ii)$ Tenemos $\dfrac{{\partial f}}{{\partial x}}=3e^{3x+2y},\quad \dfrac{{\partial f}}{{\partial y}}=2e^{3x+2y},$ por tanto $$\frac{{\partial f}}{{\partial x}}(0,0)=3,\quad\frac{{\partial f}}{{\partial y}}(0,0)=2.$$ $(iii)$ Las parciales de $f$ son continuas en $\mathbb{R}^2$ (teorema de continuidad de las funciones elementales) en consecuencia existen las parciales de $f$ en un abierto que contiene a $(0,0)$ y son continuas en $(0,0).$ Por el teorema de la condición suficiente para la diferenciabilidad, concluimos que $f$ es diferenciable en $(0,0).$
  7. Denotemos por $\lambda$ a la aplicación lineal $$\lambda :\mathbb{R}\to \mathbb{R},\quad \lambda(h)=f’(a)h.$$Tenemos las siguientes equivalencias $$f\text{ es derivable en }a\Leftrightarrow \exists\; f’(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$ $$\Leftrightarrow \forall \epsilon>0\;\exists \delta>0: \left|\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-f’(a)\right|<\epsilon \text{ si } 0<\left|h\right|<\delta$$ $$\Leftrightarrow \forall \epsilon>0\;\exists \delta>0: \frac{\left|f(a+h)-f(a)-\lambda(h)\right|}{\left|h\right|}<\epsilon \text{ si } 0<\left|h\right|<\delta$$ $$\Leftrightarrow \lim_{h \to 0}\frac{\left|f(a+h)-f(a)-\lambda(h)\right|}{\left|h\right|}=0$$ $$\Leftrightarrow f\text{ es diferenciable en } a\text{ (con diferencial }\lambda(h)=f’(a)h).$$
  8. Supongamos que existieran dos aplicaciones lineales $\lambda_1$ y $\lambda_2$ de $\mathbb{R}^n$ en $\mathbb{R}^m$ satisfaciendo $(1).$ Veamos que necesariamente $\lambda_1=\lambda_2.$ Llamemos $\lambda=\lambda_1-\lambda_2.$ Bastará demostrar que $\lambda=0.$ Tenemos para todo $h\in\mathbb{R}^n,$ $$\left\|\lambda(h)\right\|=\left\|(\lambda_1-\lambda_2)(h)\right\|=\left\|\lambda_1(h)-\lambda_2(h)\right\|$$ $$=\left\|\lambda_1(h)-f(a+h)+f(a)-\lambda_2(h)+f(a+h)-f(a)\right\|$$ $$\leq\left\|f(a+h)-f(a)-\lambda_1(h)\right\|+\left\|f(a+h)-f(a)-\lambda_2(h)\right\|.$$ Dividiento entre $\left\|h\right\|$ ($h\neq 0$), $$0\leq \frac{\left\|\lambda(h)\right\|}{\left\|h\right\|}\leq\frac{\left\|f(a+h)-f(a)-\lambda_1(h)\right\|}{\left\|h\right\|}+\frac{\left\|f(a+h)-f(a)-\lambda_2(h)\right\|}{\left\|h\right\|}. $$ Tomando límites, y aplicando el teorema del sandwich, $$0\leq \lim_{h\to 0}\frac{\left\|\lambda(h)\right\|}{\left\|h\right\|}\leq 0+0\Rightarrow \lim_{h\to 0}\frac{\left\|\lambda(h)\right\|}{\left\|h\right\|}=0.$$ Consideremos $0\neq h\in\mathbb{R}^n$ fijo y $t\in\mathbb{R}$ variable. Entonces, $$0= \lim_{t\to 0}\frac{\left\|\lambda(th)\right\|}{\left\|th\right\|}\underbrace{=}_{\lambda\text{ lineal}} \lim_{t\to 0}\frac{\left\|t\lambda(h)\right\|}{\left\|th\right\|}=\lim_{t\to 0}\frac{\left|t\right|\left\|\lambda(h)\right\|}{\left|t\right|\left\|h\right\|}$$ $$=\lim_{t\to 0}\frac{\left\|\lambda(h)\right\|}{\left\|h\right\|}\underbrace{=}_{h\text{ constante}}\frac{\left\|\lambda(h)\right\|}{\left\|h\right\|}=0\Rightarrow \left\|\lambda(h)\right\|=0\Rightarrow \lambda(h)=0.$$ Por otra parte, al ser $\lambda$ lineal se verifica $\lambda(0)=0$ y por tanto $\lambda=0.$
  9. Dado que $f$ es diferenciable en $a$ si y solo si lo son sus funciones componentes y que $f$ es continua en $a$ si y solo si lo son sus funciones componentes, podemos suponer que $m=1.$
    Como $f$ es diferenciable en $a,$ $$f(a+h)-f(a)=r(h)+\lambda (h)\text{ con }\lim_{h\to 0}\frac{\left|r(h)\right|}{\left\|h\right\|}=0,$$ lo cual implica que $r(h)\to 0$ cuando $h\to 0.$ Por otra parte, $\lambda$ es una forma lineal en $\mathbb{R}^n$ y por tanto de la forma $$\lambda(h)=a_1h_1+\cdots+a_nh_n,\quad (a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{R}).$$ Entonces, $$\lim_{h\to 0}\left(f(a+h)-f(a)\right)=\lim_{h\to 0}\left(r(h)+\lambda (h)\right)=0+\lim_{h\to 0}(a_1h_1+\cdots+a_nh_n)$$ $$=0\Rightarrow \lim_{h\to 0}f(a+h)=f(a)\Rightarrow f \text{ es continua en }a.$$
  10. $a.$ Se verifica $$f(a+h)-f(a)=Df(a)(h)+r(h),\;\text{ con }\;\lim_{h\to 0}\frac{\left\|r(h)\right\|}{\left\|h\right\|}= 0.$$ Haciendo $h=tv$ ($v\neq 0$) $$f(a+tv)-f(a)=tDf(a)(v)+r(tv), \;\text{ con }\;\lim_{h\to 0}\frac{\left\|r(tv)\right\|}{\left|t\right|\left\|v\right\|}=0.$$ Tomando límites cuando $t\to 0$ y dado que $r(tv)/t\to 0$ cuando $t\to 0$ $$D_vf(a)=\lim_{t\to 0}\frac{f(a+tv)-f(a)}{t}=Df(a)v.$$ Nota. Para $v=0$ el resultado es trivial.
    $b.$ La función $f$ es diferenciable en $a=(1,1).$ Según el apartado anterior $$D_{(2,3)}f(1,1)=[D(1,1)] (2,3)$$ $$=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(1,1)\quad\frac{\partial f}{\partial y}(1,1)\right)\begin{pmatrix}{2}\\{3}\end{pmatrix}=\left(2\quad1\right)\begin{pmatrix}{2}\\{3}\end{pmatrix}=7.$$
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