Teorema fundamental del Cálculo

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Demostrar el teorema fundamental del Cálculo:
    Sea $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ una función continua, y sea la función $$F:[a,b]\to \mathbb{R},\quad F(x)=\int_a^xf(t)\;dt.$$ Entonces, $F$ es derivable en $[a,b]$ y $F’(x)=f(x)$ para todo $x\in [a,b].$
  2. Hallar las derivadas de las siguientes funciones:$$(a)\;F(x)=\int_1^x\log t\;dt.\quad (b)\;G(x)=\int_3^x\sqrt{1+t^2}\;dt.$$
  3. Hallar las derivadas de las siguientes funciones:$$(a)\;F(x)=\int_{2x+3}^{x^3+1}\operatorname{sen} t\;dt.\quad (b)\;G(x)=\int_{x}^{x^2}e^{-t^2}\;dt.$$
  4. Calcular $\displaystyle\lim_{x \to{0^+}}{\displaystyle\frac{1}{x^{3/2}}\displaystyle\int_{0}^{x^2}\operatorname{sen}t^{1/4}\;dt}.$
    Solución
  1. Sean $x$ y $x+h$ dos puntos del intervalo $[a,b].$ Usando el teorema de la media del cálculo integral: $$\begin{aligned}&F(x+h)-F(x)=\int_a^{x+h}f(t)\;dt-\int_a^{x}f(t)\;dt\\
    &=\int_x^{a}f(t)\;dt+\int_a^{x+h}f(t)\;dt=\int_x^{x+h}f(t)\;dt=hf(c),\end{aligned}$$ en donde $c$ está comprendido entre $x$ y $x+h.$ Entonces,$$F’(x)=\lim_{h\to 0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{hf(c)}{h}=\lim_{h\to 0}f(c).$$ Dado que $c\to x$ cuando $h\to 0,$ se verifica $F’(x)=f(x).$
  2. Usando el teorema fundamental del cálculo:
    $(a)\;$ $F’(x)=\log x \quad \forall x>0.$
    $(b)\;$ $G’(x)=\sqrt{1+x^2}\quad \forall x\in\mathbb{R}.$
  3. Usando la generalización del teorema fundamental del cálculo:
    $(a)\;$ $F’(x)=3x^2\operatorname{sen} \left(x^3+1\right)-2\operatorname{sen}\left(2x+3\right)\quad \forall x\in\mathbb{R}.$
    $(b)\;$ $G’(x)=2xe^{-x^4}-e^{-x^2}\quad \forall x\in\mathbb{R}.$
  4. Aparece una indeterminación del tipo $0/0$ y la función $\operatorname{sen}t^{1/4}$ es continua en todo intervalo $[0,x^2].$ Usando la regla de L’Hopital, el teorema fundamental del Cálculo y que $\operatorname{sen}\epsilon\sim \epsilon$ cuando $\epsilon\to 0:$ $$\displaystyle\lim_{x \to{0^+}}{\displaystyle\frac{\displaystyle\int_{0}^{x^2}\operatorname{sen}t^{1/4}\;dt}{x^{3/2}}}=\left\{\frac{0}{0}\right\}=\displaystyle\lim_{x \to{0^+}}\frac{2x\operatorname{sen}\;(x^2)^{1/4}}{(3/2)x^{1/2}}$$ $$=\displaystyle\lim_{x \to{0^+}}\frac{4}{3}x\cdot\frac{\operatorname{sen}x^{1/2}}{x^{1/2}}=\frac{4}{3}\cdot 0\cdot 1=0.$$
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