Teorema fundamental del Cálculo

TEORÍA

1  Demostrar el teorema fundamental del Cálculo:
Sea $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ una función continua, y sea la función $$F:[a,b]\to \mathbb{R},\quad F(x)=\int_a^xf(t)\;dt.$$ Entonces, $F$ es derivable en $[a,b]$ y $F’(x)=f(x)$ para todo $x\in [a,b].$

SOLUCIÓN

2 Hallar las derivadas de las siguientes funciones:$$(a)\;F(x)=\int_1^x\log t\;dt.\quad (b)\;G(x)=\int_3^x\sqrt{1+t^2}\;dt.$$

SOLUCIÓN

3 Hallar las derivadas de las siguientes funciones:$$(a)\;F(x)=\int_{2x+3}^{x^3+1}\operatorname{sen} t\;dt.\quad (b)\;G(x)=\int_{x}^{x^2}e^{-t^2}\;dt.$$

SOLUCIÓN

4 Calcular $\displaystyle\lim_{x \to{0^+}}{\displaystyle\frac{1}{x^{3/2}}\displaystyle\int_{0}^{x^2}\operatorname{sen}t^{1/4}\;dt}.$

SOLUCIÓN
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