Existencia de base en todo espacio vectorial

Demostramos la existencia de base en todo espacio vectorial.

Enunciado
1.  Sea $E$ un espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}$ y $S$ un subconjunto de $E$ linealmente independiente. Entonces, existe una base $B$ de $E$ que contiene a $S.$
2.  Demostrar que todo espacio vectorial $E$ tiene una base.

Solución
1. Llamemos $$\mathscr{S}=\{A\subset E:S\subset A\text{ y }A\text{ es linealmente independiente}\}.$$ Es decir, $\mathscr{S}$ está formado por todos los subconjuntos de $E$ que son linealmente independientes y que contienen a $S.$ Claramente $\mathcal{S}\neq \emptyset$ pues $S\in \mathscr{S}.$

Sea $\mathscr{F}=\{A_i:i\in I\}$ una familia indexada de elementos de $\mathscr{S}$ totalmente ordenada por inclusión $\subset,$ y sea $A=\bigcup_{i\in I}A_i.$ El conjunto $A$ es linealmente independiente, pues si no lo fuera, existirían vectores $\{v_1,\ldots,v_n\}\subset A$ y escalares no todos nulos $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ tales que $\alpha_1v_1+\cdots\alpha_nv_n=0.$ Ahora bien, al estar $\mathscr{F}$ totalmente ordenada existiría $i_0\in I$ con $$\{v_1,\ldots,v_n\}\subset A_{i_0}.$$ Entonces $A_{i_0}$ no sería linealmente independiente lo cual es absurdo pues $A_{i_0}\in\mathscr{S}.$ Concluimos que $\mathscr{S}$ es un conjunto inductivo y por el lema de Zorn $\mathscr{S}$ tiene un elemento maximal $B.$ Veamos que $B$ es base de $E.$

Efectivamente, como $B\in\mathscr{S},$ $B$ es linealmente independiente (además $S\subset B).$ Veamos que $E=L(B)$ por reducción al absurdo.

Si $E\neq L(B),$ existe un vector $v\in E-L(B)$ y como $v\notin L(B),$ el conjunto $B\cup\{v\}$ es linealmente independiente lo cual implica que $B\cup\{v\}\in\mathscr{S}$ y  $B\subsetneq B\cup\{v\}$ lo cual contradice la maximalidad de $B.$ Hemos demostrado que $B$ es base de $E$ que contiene a $S.$

2. En efecto, si $E\neq \{0\}$ existe $v\in E$ no nulo y basta elegir el conjunto linealmente independiente $S=\{v\}.$ Si $E=\{0\},$ entonces $B=\emptyset$ es base de $E.$

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