Extremos absolutos sobre compactos

Proporcionamos ejemplos de cálculo de extremoss absolutos sobre conjuntos compactos.

1 Considérese la función $f:\mathbb{R}^2-\{(0,0)\}\to \mathbb{R}:$ $$f(x,y)=\dfrac{-2(x+y)}{x^2+y^2}.$$ Determinar sus extremos absolutos sobre la región $$D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:1\leq x^2+y^2\leq 4\}.$$

(Propuesto en examen, Cálculo, ETS de Ing. de Montes, UPM).

SOLUCIÓN

2 ¿Cuanto vale y en qué punto alcanza su máximo la función $f(x,y)=(x|y|-y|x|)^{113}$ sobre el compacto $x^2+y^2\leq 1$?

(Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. Industriales, UNED).

SOLUCIÓN

3 Calcular los extremos absolutos de la función $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ definida por: $$f(x,y)=\displaystyle\int_{0}^{(x+y)^3}\dfrac{\cos^2 t}{1+\sin^4 t}\;dt,$$ sobre el compacto  $\mathcal{C}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x^2+y^2\leq 1\}.$

(Propuesto en examen, Cálculo, ETS de Ing. de Montes, UPM).

SOLUCIÓN
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