Estabilidad en el interior de una elipse

Estudiamos la estabilidad de los puntos de equilibrio de un sistema autónomo cuyo plano de fases es una elipse.

Enunciado
Especificar y representar el espacio de fases del sistema diferencial

$$\begin{aligned}
&x’=x^2-y\\
&y’=\log (6-2x^2-3y^2).
\end{aligned}$$

Estudiar la estabilidad de los puntos de equilibrio.

(Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM).

Solución
La primera componente del campo es $v_1(x,y)=x-y$ que está definida en $\mathbb{R}^2.$ La segunda componente $v_2(x,y)=\log (6-2x^2-3y^2)$ está definida si y sólo si $6-2x^2-3y^2>0$ que equivale a $x^2/3+y^2/2<1.$ El espacio de fases es por tanto el interior geométrico de la elipse $x^2/3+y^2/2=1.$ Hallemos los puntos de equilibrio:

$\left \{ \begin{matrix}
\begin{aligned}
&x^2-y=0\\
&\log (6-2x^2-3y^2)=0
\end{aligned}
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow
\left \{ \begin{matrix}
\begin{aligned}
&y=x^2\\
&2x^2+3y^2=5.
\end{aligned}
\end{matrix}\right.$

Resolviendo, obtenemos los puntos de equilibrio $P(1,1)$ y $Q(-1,1).$

La matriz jacobiana asociada al campo es:

$$J_v(x,y)=\begin{bmatrix}{2x}&{-1}\\{\frac{-4x}{6-2x^2-3y^2}}&{\frac{-6y}{6-2x^2-3y^2}}\end{bmatrix}.$$

Las matrices de los correspondientes sistemas linealizados son:

$$A=J_v(1,1)=\begin{bmatrix}{\;\;2}&{-1}\\{-4}&{-6}\end{bmatrix}\;,\quad B=J_v(-1,1)=\begin{bmatrix}{-2}&{-1}\\{\;\;4}&{-6}\end{bmatrix}.$$

El polinomio característico de $A$ es $\lambda^2+2\lambda-16$ y su espectro, $\mbox{spec}(A)=\{-1\pm \sqrt{17}\}.$ El máximo de la parte real de estos valores propios es $\mu_A=-1+\sqrt{17}>0$ lo cual implica que $P(1,1)$ es inestable.

El polinomio característico de $B$ es $\lambda^2+8\lambda+16$ y su espectro, $\mbox{spec}(B)=\{-4\}.$ El máximo de la parte real de estos valores propios es $\mu_B=-4<0$ lo cual implica que $Q(-1,1)$ es asintóticamente estable.

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