Una órbita con paso a polares

Enunciado
Dibujar la órbita que pasa por el punto $(1,0)$ en el sistema diferencial $$\left \{ \begin{matrix}x’=-y-xy\\ y’=x+x^2.\end{matrix}\right.$$

(Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM)

Solución
De $\rho^2=x^2+y^2$ y derivando respecto de la variable independiente $t:$
$$2\rho\rho’=2xx’+2yy’\mbox{ o bien }\rho\rho’=xx’+yy’ .\qquad (1)$$
De $\theta=\arctan (y/x)$ y derivando respecto de la variable independiente $t:$
$$\theta’=\displaystyle\frac{1}{1+\dfrac{y^2}{x^2}}\;\displaystyle\frac{y’x-x’y}{x^2}=\displaystyle\frac{1}{\rho^2}(y’x-x’y).\qquad (2)$$
Sustituyendo las igualdades del sistema dado en (1) y (2) obtenemos
$$\rho \rho’=-xy-x^2y+yx+yx^2=0,$$
$$\theta’=\dfrac{1}{\rho^2}(x^2+x^3+y^2+xy^2)=\dfrac{1}{\rho^2}(\rho^2+x\rho^2)=1+\rho \cos \theta.$$
La órbita a dibujar, corresponde a la solución de:
$$\left \{ \begin{matrix}\rho’=0\\\theta’=1+\rho\cos \theta\end{matrix}\right.\quad,\quad \begin{bmatrix}\rho(0)\\{\theta (0)}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\{0}\end{bmatrix}.$$
Un conjunto de nivel $C$ que contiene a $(1,0)$ está determinado por $\rho=1$ o equivalentemente $x^2+y^2=1.$ Hallemos los puntos de equilibrio del sistema:
$$\left \{ \begin{matrix}-y-xy=0\\ x+x^2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix}-y(1+x)=0\\ x(1+x)=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix}(x,y)=(0,0)\\ \vee\\ (x,y)=(-1,\lambda)\;\;(\lambda\in \mathbb{R}).\end{matrix}\right.$$
El único punto de equilibrio que pasa por $C$ es $(-1,0)$ y el vector campo en $(1,0)$ es $v(1,0)=(0,1),$ lo cual implica que la órbita pedida es la circunferencia unidad excluido el punto $(-1,0)$ recorrida en sentido antihorário, cuya gráfica se dibuja inmediatamente:

orbita con paso a polares

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