Soluciones periódicas y órbita

Enunciado
(i) Hallar el valor de $\alpha$ para que el problema de valor inicial

$x^{\prime\prime}(t)+\alpha x(t)=0\qquad x(0)=1,\quad x’(0)=0,$

tenga soluciones periódicas de periodo $T=\pi.$

(ii) Para ese valor de $\alpha$ determinar una ecuación implícita de la órbita que pasa por el punto $(1,0)$ en el sistema diferencial lineal asociado a la ecuación diferencial anterior.

(Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM).

Solución(i) La ecuación característica es $\lambda^2+\alpha=0.$ Analizaremos tres casos:

Caso 1. $\alpha<0.$ Las raíces son $\lambda_1=\sqrt{-\alpha},\;\lambda_2=-\sqrt{-\alpha}$. Una base del espacio de las soluciones es $\{e^{\sqrt{-\alpha}t}, e^{-\sqrt{-\alpha}t} \}$. La solución general de la ecuación es por tanto

$x(t)=C_1\;e^{\sqrt{-\alpha}t}+C_2\;e^{-\sqrt{-\alpha}t}.$

Es claro por el conocimiento de la función exponencial que no existen en este caso soluciones periódicas.

Caso 2. $\alpha=0.$ La raíz es $\lambda=0$ (doble). Una base del espacio de las soluciones es $\{1, t \}$. La solución general de la ecuación es por tanto

$x(t)=C_1+C_2\;t.$

Las únicas soluciones periódicas en este caso se obtienen para $C_2=0$ i.e. las soluciones constantes, pero su su periodo no es $\pi.$

Caso 3. $\alpha>0.$ Las raíces son $\lambda_1=\sqrt{\alpha}\;i,\;\lambda_2=-\sqrt{-\alpha}\;i$. Una base del espacio de las soluciones es $\{\cos \sqrt{\alpha}t, \sin \sqrt{\alpha}t \}$. La solución general de la ecuación es por tanto

$x(t)=C_1\;\cos \sqrt{\alpha}t+C_2\;\sin \sqrt{\alpha}t.$

De la igualdad $\sqrt{\alpha}(t+T)=\sqrt{\alpha}t+2\pi$ deducimos que las soluciones anteriores son periódicas de periodo $T=2\pi/\sqrt{\alpha}$, excepto para la solución nula. Para $T=\pi$ obtenemos $\alpha=4.$ En este caso $x(t)=C_1\cos 2t+C_2\sin 2t,$ y la única solución que satisface las condiciones iniciales es $x(t)=\cos 2t.$

(ii) Denotando $y=x’$ tenemos $y’=x^{\prime\prime}=-4x.$ Por tanto el sistema lineal asociado es

$\left \{ \begin{matrix}x’=y\\y’=-4x\end{matrix}\right. \mbox{ con }\begin{bmatrix}{x(0)}\\{y(0)}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{1}\\{0}\end{bmatrix}. $

Una integral primera del sistema anterior se obtendrá resolviendo la ecuación diferencial de variables separadas $dy/dx=-4x/y$ o bien $4xdx+ydy=0.$ La solución general es $4x^2+y^2=C,$ y el conjunto de nivel que pasa por $(1,0)$ es por tanto la elipse de ecuación implícita $4x^2+y^2=4.$

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