Cambio de base

Proporcionamos ejercicios sobre cambio de base.

TEORÍA

1 Sean $B=\{u_1,u_2\}$ y $B’=\{u’_1,u’_2\},$ dos bases de un espacio vectorial real $E$ de dimensión $2$ tales que $u’_1=u_1-2u_2,$ $u’_2=3u_1+4u_2.$ Se pide hallar:
$a)$ La matriz de cambio o de paso de $B$ a $B’.$
$b)$ La ecuación matricial del cambio de base.
$c)$ Las coordenadas del vector $5u’_1-u’_2$ en la base $B.$
$d)$ Las coordenadas del vector $7u_2$ en la base $B’.$

SOLUCIÓN

2 Se consideran las bases de $\mathbb{R}^2,$ $B=\{(1,2),(2,-1)\}$ y $B’=\{(3,1),(2,4)\}.$ Hallar la matriz de paso de $B$ a $B’.$

SOLUCIÓN

3 Se consideran las bases de $\mathbb{R}^3,$ $$B=\{(1,1,0),(-1,0,2),(0,2,5)\},\\B’=\{(0,1,1),(1,1,1),(3,1,0)\}.$$ Hallar la matriz de paso de $B$ a $B’.$

SOLUCIÓN

4  Sean $B$ y $B’$ dos bases de un espacio vectorial $E.$ Deducir la fórmula del cambio de base $[x]_B=P\;[x]_{B’},$ para todo $x\in E,$ en donde para todo $j=1,\ldots,n,$ la columna $j$-ésima de $P$ son las coordenadas de $u’_j$ con respecto de la base $B.$

SOLUCIÓN

5  Sean $B$ y $B’$ dos bases de un espacio vectorial $E$ de dimensión finita $n$. Demostrar que:
$a)$ La matriz de cambio $P$ de $B$ a $B’$ es invertible.
$b)$ La matriz de cambio de $B’$ a $B,$ es $P^{-1}.$

SOLUCIÓN
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