Coordenadas

Proporcionamos ejercicios sobre coordenadas.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. En $\mathbb{R}^2,$ hallar las coordenadas del vector $x=(1,18):$
    $a)$ En la base $B=\{(3,-1),(-1,4)\}.$ $\quad b)$ En la base canónica $B_c$ de $\mathbb{R}^2.$
  2. Hallar las coordenadas del vector $x=(7,5,-2,1)$ respecto de la base de $\mathbb{R}^4:$ $$B=\{(1,-1,2,3),(4,1,0,2),(3,-1,3,0),(1,-1,1,0)\}.$$
  3. Hallar las coordenadas del vector $p(x)=-2x^3-11x^2-25x-20$ respecto de las bases de $\mathbb{R}_3[x]:$
    $a)$ $B=\{1,(x+2),(x+2)^2,(x+2)^3\}.$ $\quad b)$ $B’=\{1,x,x^2,x^3\}.$
  4. Sea $E$ un espacio vectorial de dimensión finita sobre el cuerpo $\mathbb{K}$, y $B$ una base de $E.$ Denotemos por $[u]_B$ el vector de coordenadas de $u\in E$ con respecto de la base $B.$ Demostrar que:
    $1)$ Para cada $x\in E,$ el vector $[x]_B$ es único (es decir, las coordenadas de un vector en una determinada base son únicas).
    $2)$ Para todo $x,y\in E,$ se verifica $[x+y]_B=[x]_B+[y]_B$ (es decir, respecto de una determinada base, las coordenadas de la suma de dos vectores, son la suma de las respectivas coordenadas).
    $3)$ Para todo $\lambda \in \mathbb{K}, x\in E,$ se verifica $[\lambda x]_B=\lambda [x]_B$ (es decir, respecto de una determinada base, las coordenadas de un escalar por un vector, son el escalar por las coordenadas del vector).
    Solución
  1. $a)$ Expresando $(1,18)=x_1(3,-1)+x_2(-1,4),$ obtenemos el sistema: $$\left \{ \begin{matrix} 3x_1-x_2=1\\-x_1+4x_2=18,\end{matrix}\right.$$ cuya solución es $x_1=2,x_2=5.$ Es decir, $[x]_B=(2,5)^t.$
    $b)$ Dado que $(1,18)=1(1,0)+18(0,1),$ se verifica $[x]_{B_c}=(1,18)^t.$
  2. Expresando $(7,5,-2,1)=x_1(1,-1,2,3)+x_2(4,1,0,2)+x_3(3,-1,3,0)+x_4(1,-1,1,0),$ obtenemos el sistema: $$\left \{ \begin{matrix} x_1+4x_2+3x_3+x_4=7\\-x_1+x_2-x_3-x_4=5\\
    2x_1+3x_3+x_4=-2\\
    3x_1+2x_2=1.\end{matrix}\right.$$ Resolviendo el sistema, obtenemos $x_1=-1,x_2=2,x_3=1,x_4=-3,$ por tanto $[x]_B=(-1,2,1,-3)^t.$
  3. $a)$ Expresando $p(x)=x_1\cdot 1+x_2(x+2)+x_3(x+2)^2+x_4(x+2)^3:$ $$\begin{aligned}
    -2x^3-11x^2-25x-20&=x_1+x_2(x+2)+x_3(x^2+4x+4)+\\
    &\quad x_4(x^3+6x^2+12x+8)\\
    &=(x_1+2x_2+4x_3+8x_4)\\
    &\quad +(x_2+4x_3+12x_4)x+(x_3+6x_4)x^2+x_4x^3.\end{aligned}$$ Identificando corficientes obtenemos el sistema: $$\begin{aligned}\left \{ \begin{matrix}x_1+2x_2+4x_3+8x_4=-20\\
    \qquad\quad x_2+4x_3+12x_4=-25\\
    \qquad\qquad\;\;\; x_3+6x_4=-11\\
    \qquad\qquad\qquad\quad x_4=-2,\end{matrix}\right.\end{aligned}$$ cuya única solución es $x_1=2,x_2=-5,x_3=1,x_4=-2,$ por tanto $[p(x)]_B=(2,-5,1,-2)^t.$
    Segundo método. Aplicando la fórmula de Taylor a $p(x)$ en $x_0=-2:$
    $$\begin{aligned}& p(x)=-2x^3-11x^2-25x-20\Rightarrow p(-2)=2\\
    &p’(x)=-6x^2-22x-25\Rightarrow p’(-2)=-5\\
    &p^{\prime\prime}(x)=-12x-22\Rightarrow p^{\prime\prime}(-2)=2\\
    &p^{\prime\prime\prime}(x)=-12\Rightarrow p^{\prime\prime\prime}(-2)=-12\\
    &p^{(4)}(x)=0\Rightarrow p^{(4)}(-2)=0.
    \end{aligned}$$ Entonces, $$\begin{aligned} p(x)&=p(-2)+\dfrac{p’(-2)}{1!}(x+2)+\dfrac{p^{\prime\prime}(-2)}{2!}(x+2)^2+\dfrac{p^{\prime\prime\prime}(-2)}{3!}(x+2)^3\\
    &=2-5(x+2)+(x+2)^2-2(x+2)^3,
    \end{aligned}$$ por tanto, $[p(x)]_B=(2,-5,1,-2)^t.$
    $b)$ Dado que $p(x)=(-20)\cdot 1-25x-11x^2-2x^3,$ se verifica $$[p(x)]_{B’}=(-20,-25,-11,-2)^t.$$
  4. $1)$ Sea $B=\{u_1,\ldots,u_n\},$ y supongamos que: $$[x]_B=\begin{bmatrix}x_1\\ \vdots\\{x_n}\end{bmatrix},\quad [x]_B=\begin{bmatrix}x’_1\\ \vdots\\{x’_n}\end{bmatrix},$$ entonces, por definición de coordenadas $x=x_1u_1+\ldots+x_nu_n$ y $x=x’_1u_1+\ldots+x’_nu_n.$ Esto implica $x_1u_1+\ldots+x_nu_n=x’_1u_1+\ldots+x’_nu_n,$ o de forma equivalente $(x_1-x’_1)u_1+\ldots+(x_n-x’_n)u_n=0.$ Dado que $B$ es sistema libre, $x_1-x’_1=0,$ … $x_n-x’_n=0,$ luego $x_1=x’_1,$ … $x_n=x’_n.$
    $2)$ Sean $x,y\in E$ tales que: $$[x]_B=\begin{bmatrix}x_1\\ \vdots\\{x_n}\end{bmatrix},\quad [y]_B=\begin{bmatrix}y_1\\ \vdots\\{y_n}\end{bmatrix},$$
    entonces, por definición de coordenadas, $x=x_1u_1+\ldots+x_nu_n$ e $y=y_1u_1+\ldots+y_nu_n.$ Esto implica $x+y=(x_1+y_1)u_1+\ldots+(x_n+y_n)u_n.$ Es decir, $$[x+y]_B=\begin{bmatrix}x_1+y_1\\ \vdots\\{x_n+y_n}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_1\\ \vdots\\{x_n}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}y_1\\ \vdots\\{y_n}\end{bmatrix}=[x]_B+[y]_B.$$ $3)$ Sean $\lambda \in \mathbb{K}, x\in E,$ con $x=x_1u_1+\ldots+x_nu_n.$ Entonces, $\lambda x=(\lambda x_1)u_1+\ldots+(\lambda x_n)u_n,$ por tanto: $$[\lambda x]_B=\begin{bmatrix}\lambda x_1\\ \vdots\\{\lambda x_n}\end{bmatrix}=\lambda \begin{bmatrix}x_1\\ \vdots\\{x_n}\end{bmatrix}=\lambda [x]_B.$$
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