Coordenadas

Proporcionamos ejercicios sobre coordenadas.

TEORÍA

1 En $\mathbb{R}^2,$ hallar las coordenadas del vector $x=(1,18):$
$a)$ En la base $B=\{(3,-1),(-1,4)\}.$ $\quad b)$ En la base canónica $B_c$ de $\mathbb{R}^2.$

SOLUCIÓN

2 Hallar las coordenadas del vector $x=(7,5,-2,1)$ respecto de la base de $\mathbb{R}^4:$ $$B=\{(1,-1,2,3),(4,1,0,2),(3,-1,3,0),(1,-1,1,0)\}.$$

SOLUCIÓN

3 Hallar las coordenadas del vector $p(x)=-2x^3-11x^2-25x-20$ respecto de las bases de $\mathbb{R}_3[x]:$
$a)$ $B=\{1,(x+2),(x+2)^2,(x+2)^3\}.$ $\quad b)$ $B’=\{1,x,x^2,x^3\}.$

SOLUCIÓN

4  Sea $E$ un espacio vectorial de dimensión finita sobre el cuerpo $\mathbb{K}$, y $B$ una base de $E.$ Denotemos por $[u]_B$ el vector de coordenadas de $u\in E$ con respecto de la base $B.$ Demostrar que:

$1)$ Para cada $x\in E,$ el vector $[x]_B$ es único (es decir, las coordenadas de un vector en una determinada base son únicas).
$2)$ Para todo $x,y\in E,$ se verifica $[x+y]_B=[x]_B+[y]_B$ (es decir, respecto de una determinada base, las coordenadas de la suma de dos vectores, son la suma de las respectivas coordenadas).
$3)$ Para todo $\lambda \in \mathbb{K}, x\in E,$ se verifica $[\lambda x]_B=\lambda [x]_B$ (es decir, respecto de una determinada base, las coordenadas de un escalar por un vector, son el escalar por las coordenadas del vector).

SOLUCIÓN
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