Teorema de la base incompleta

Damos ejemplos de aplicación del teorema de la base incompleta.

TEORÍA

1 Dados los vectores de $\mathbb{R}^4,$ $v_1=(2,-1,3,4)$ y $v_2=(0,5,1,-1),$ completarlos con otros dos para formar una base de $\mathbb{R}^4.$

SOLUCIÓN

2  Sea $B=\{u_1,\ldots,u_r,u_{r+1},\ldots,u_n\}$ base de un espacio vectorial $E.$ Demostrar que $$E=\langle u_1,\ldots,u_r\rangle\oplus\langle u_{r+1},\ldots,u_n \rangle.$$

SOLUCIÓN

3 En el espacio vectorial $\mathbb{R}^4,$ hallar  un subespacio suplementario de $\langle (2,-1,3,4),(0,5,1,-1)\rangle.$

SOLUCIÓN

4 Determinar los valores de $a\in\mathbb{R}$ para los cuales $\mathbb{R}^4=F\oplus G,$ siendo $$F=\langle (2,1,-1,1),(2,3,4,-0),(1,1,1,1)\rangle \text{ y }G=\langle (2,-1,3,a)\rangle.$$

SOLUCIÓN
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