Ecuaciones de los subespacios

Proporcionamos ejercicios sobre ecuaciones de los subespacios.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Hallar la dimensión y una base del subespacio vectorial $F$ de $\mathbb{R}^4$ determinado por el sistema:$$\left \{ \begin{matrix} x_1+x_2+x_3-x_4=0\\x_1-x_2+2x_3+5x_4=0\\-x_1+5x_2-4x_3-17x_4=0\end{matrix}\right.$$ y hallar unas ecuaciones paramétricas de $F.$
  2. Hallar unas ecuaciones implícitas o cartesianas del subespacio de $\mathbb{R}^4:$ $$F\equiv\left \{ \begin{matrix} \begin{aligned}&x_1=\lambda_1+\lambda_2-\lambda_3 \\&x_2=2\lambda_1+\lambda_2 \\&x_3=-\lambda_1+3\lambda_2-7\lambda_3\\&x_4=\lambda_1+\lambda_3\end{aligned}\end{matrix}\right.\quad(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\in\mathbb{R}).$$
  3. Sea $\mathbb{K}$ un cuerpo y $A\in\mathbb{K}^{m\times n},$ una matriz de orden $m\times n$ con entradas en $\mathbb{K}.$ Demostrar que:
    $(a)$ $F=\{x=(x_1,\ldots,x_n)^t\in \mathbb{K}^n:Ax=0\}$ es subespacio de $\mathbb{K}^n.$
    $(b)$ $\dim F=n-\operatorname{rg}(A).$
    Solución
  1. Hallemos el rango de la matriz del sistema: $$\begin{aligned}
    &\begin{bmatrix}{\;\;\boxed{1}}&{\;\;1}&{\;\;2}&{\;\;-1}\\{\;\;1}&{-1}&{\;\;2}&{\;\;\;\;5}\\{-1}&{\;\;5}&{-4}&{-17}\end{bmatrix}
    \begin{matrix}{\sim}\\{F_2-F_1}\\{F_3+F_1}\end{matrix} \begin{bmatrix}{\boxed{1}}&{\;\;1}&{1}&{\;\;-1}\\{0}&{\boxed{-2}}&{1}&{\;\;\;\;6}\\{0}&{\;\;6}&{3}&{-18}\end{bmatrix}\\
    &\begin{matrix}{\sim}\\{F_3+3F_2}\end{matrix}
    \begin{bmatrix}{\boxed{1}}&{\;\;1}&{1}&{-1}\\{0}&{\boxed{-2}}&{1}&{\;\;6}\\{0}&{\;\;0}&{0}&{\;\;0}\end{bmatrix},
    \end{aligned}$$ por tanto, $\dim F=4-\textrm{rg}(A)=4-2=2$. Para hallar una base de $F$ consideramos el sistema escalonado:$$F\equiv \left \{ \begin{matrix} x_1+x_2+x_3-x_4=0\\\;\;\;\;\;\;-2x_2+x_3+6x_4=0.\end{matrix}\right.$$ Dando a las incógnitas libres (en este caso $x_3$ y $x_4$) valores de la matriz identidad esto es, $x_3=1,x_4=0$ y luego $x_3=0,x_4=1$ nos asegura una base de $F$ (tendríamos dos vectores linealmente independientes en $F$ que es de dimensión $2$).
    Para $x_3=1,x_4=0$ obtenemos $x_1=-3/2$ y $x_2=1/2$. Para $x_3=0,x_4=1$ obtenemos $x_1=-2$ y $x_2=3$. Una base de $F$ será por tanto $\left\{{(-3/2,1/2,1,0),(-2,3,0,1)}\right\},$ y multiplicando por $2$ el primer vector obtenemos otra base: $$B=\left\{{(-3,1,2,0),(-2,3,0,1)}\right\}.$$ Hallemos ahora unas ecuaciones paramétricas de $F.$ Los vectores de $F$ son exactamente los que se pueden escribir en la forma $$(x_1,x_2,x_3,x_4)=\lambda_1 (-3,1,2,0)+\lambda_2(-2,3,0,1)\text{ con }\lambda_1,\lambda_2\in \mathbb{R},$$ en consecuencia unas ecuaciones paramétricas de $F$ son:$$F\equiv\left \{ \begin{matrix} \begin{aligned}&x_1=-3\lambda_1-2\lambda_2 \\&x_2=\quad\;\lambda_1+3\lambda_2 \\&x_3=\quad2\lambda_1\\&x_4=\qquad\quad\;\; \;\lambda_2\end{aligned}\end{matrix}\right.\qquad(\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{R}).$$
  2. Podemos escribir $F$ en la forma: $$F\equiv \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\{x_4}\end{bmatrix}=\lambda_1\begin{bmatrix}1\\2\\-1\\1\end{bmatrix}+\lambda_2\begin{bmatrix}1\\1\\3\\0\end{bmatrix}+\lambda_3\begin{bmatrix}1\\0\\-7\\1\end{bmatrix}\quad(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\in\mathbb{R}).$$ Los tres vectores columna anteriores generan a $F,$ y fácilmente podemos verificar que el rango de la matriz formada por estas columnas es $2.$ Dado que el rango de la matriz formada por las dos primeras columnas es dos, concluimos que estas forma una base de $F.$ Con este proceso, hemos eliminado el parámetro innecesario $\lambda_3.$ Podemos ahora escribir $F$ en la forma:$$F\equiv \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\{x_4}\end{bmatrix}=\mu_1\begin{bmatrix}1\\2\\-1\\1\end{bmatrix}+\mu_2\begin{bmatrix}1\\1\\3\\0\end{bmatrix}\quad(\mu_1,\mu_2\in\mathbb{R}).$$ Eliminemos los parámeros $\mu_1$ y $\mu_2.$ Tenemos:$$F\equiv\left \{ \begin{matrix} \begin{aligned}&x_1=\mu_1+\mu_2 \\&x_2=2\mu_1+\mu_2 \\&x_3=-\mu_1+3\mu_2\\&x_4=\mu_1\end{aligned}\end{matrix}\right.\quad (\mu_1,\mu_2\in\mathbb{R}).$$ De las dos últimas ecuaciones obtenemos $\mu_1=x_4$ y $\mu_2=(x_3+x_4)/2.$ Sustituyendo en las restantes ecuaciones y simplificando, obtenemos unas ecuaciones cartesianas o implícitas de $F:$ $$F\equiv\left \{ \begin{matrix} 3x_1-x_3-4x_4=0\\3x_2-x_3-7x_4=0.\end{matrix}\right.$$
  3. $(a)$ El vector $0=(0,\ldots,0)^t$ de $\mathbb{K}^n,$ claramente cumple $Ax=0,$ es decir $0\in F.$ Sean $x,y\in F,$ entonces $Ax=0$ y $Ay=0,$ por tanto $$A(x+y)=Ax+Ay=0+0=0,$$luego $x+y\in F.$ Por último, sean $\lambda\in \mathbb{K}$ y $x\in F,$ entonces $$A(\lambda x)=\lambda(Ax)=\lambda 0=0,$$ luego $\lambda x\in F.$ Concluimos que $F$ es subespacio de $\mathbb{K}^n.$

    $(b)$ Sea $\operatorname{rg}(A)=r.$ Entonces, efectuando la reducción de Gauss-Jordan, el sistema lineal $Ax=0$ será equivalente a uno escalonado de la forma: $$\left \{ \begin{matrix} x_1 & & \quad= b_{1,r+1}x_{r+1} & +\ldots&+b_{1n}x_n \\
    & x_2 &\quad= b_{2,r+1}x_{r+1} & +\ldots& +b_{2n}x_n \\
    &\ldots &\ldots &\dots \\
    & & x_r = b_{r,r+1}x_{r+1} & +\ldots&+b_{rn}x_n,\end{matrix}\right.$$ en donde hemos supuesto (sin pérdida de generalidad), que las incógnitas básicas son $x_1,\ldots,x_r.$ Las soluciones del sistema son: $$F\equiv\begin{bmatrix}x_1\\\vdots\\x_r\\ x_{r+1}\\\vdots\\{x_n}\end{bmatrix}=x_{r+1}\begin{bmatrix}b_{1,r+1}\\\vdots\\b_{r,r+1}\\ 1\\\vdots\\0\end{bmatrix}+\ldots+x_n\begin{bmatrix}b_{1n}\\\vdots\\b_{rn}\\ 0\\\vdots\\{1}\end{bmatrix}\quad (1)$$ en donde $x_{r+1,}\ldots,x_n$ varían en $\mathbb{K.}$ Las $n-r$ columnas del segundo miembro de $(1),$ generan a $F$ y son linealmente independientes, luego forman una base de $F.$ Concluimos que $\dim F=n-\operatorname{rg}(A).$

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