Ecuaciones de los subespacios

Proporcionamos ejercicios sobre ecuaciones de los subespacios.

TEORÍA

1 Hallar la dimensión y una base del subespacio vectorial $F$ de $\mathbb{R}^4$ determinado por el sistema:$$\left \{ \begin{matrix} x_1+x_2+x_3-x_4=0\\x_1-x_2+2x_3+5x_4=0\\-x_1+5x_2-4x_3-17x_4=0\end{matrix}\right.$$ y hallar unas ecuaciones paramétricas de $F.$

SOLUCIÓN

2 Hallar unas ecuaciones implícitas o cartesianas del subespacio de $\mathbb{R}^4:$ $$F\equiv\left \{ \begin{matrix} \begin{aligned}&x_1=\lambda_1+\lambda_2-\lambda_3 \\&x_2=2\lambda_1+\lambda_2 \\&x_3=-\lambda_1+3\lambda_2-7\lambda_3\\&x_4=\lambda_1+\lambda_3\end{aligned}\end{matrix}\right.\quad(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\in\mathbb{R}).$$

SOLUCIÓN

3  Sea $\mathbb{K}$ un cuerpo y $A\in\mathbb{K}^{m\times n},$ una matriz de orden $m\times n$ con entradas en  $\mathbb{K}.$ Demostrar que:
$(a)$ $F=\{x=(x_1,\ldots,x_n)^t\in \mathbb{K}^n:Ax=0\}$ es subespacio de $\mathbb{K}^n.$
$(b)$ $\dim F=n-\operatorname{rg}(A).$

SOLUCIÓN
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