Bases de la suma e intersección de subespacios

Proporcionamos ejercicios sobre bases de la suma e intersección de subespacios.

TEORÍA

1 Se consideran los subespacios de $\mathbb{R}^4:$ $$U=\{(x_1,x_2,x_3,x_4):x_2+x_3+x_4=0\},\\ V=\{(x_1,x_2,x_3,x_4):x_1+x_2=0,\;x_3=2x_4\}.$$ Hallar unas bases de: $(i)\;U.\:(ii)\;V.\;(iii)\;U\cap V.$

SOLUCIÓN

2  Sean $F_1$ y $F_2$ subespacios de un espacio vectorial $E,$ y sean $S_1$ y $S_2$ sistemas generadores de $F_1$ y $F_2$ respectivamente. Demostrar que $S_1\cup S_2$ es sistema generador de $F_1+F_2.$

SOLUCIÓN

3 En $\mathbb{R}^4$ se consideran los subespacios vectoriales:$$U=\langle (3,-1,1,2),(-1,0,2,-1),(1,-1,5,0)\rangle, \\V=\langle (1,1,-1,2),(5,0,-2,5)\rangle.$$Hallar unas bases de $U+V$ y de $U\cap V.$

SOLUCIÓN
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