Espacio vectorial cociente

Proporcionamos ejercicios sobre el espacio vectorial cociente.

TEORÍA

1 Se considera el subespacio $F$ de $\mathbb{R}^4:$ $$ F\equiv \left \{ \begin{matrix} x_1+x_2-x_3+2x_4=0 \\ x_1-x_2+3x_3+6x_4=0 .\end{matrix}\right.$$ $(i)$ Hallar una base de $F$.
$(ii)$ Hallar una base de $\mathbb{R}^4/F$.
$(iii)$ Hallar las coordenadas del vector $(1,-3,2,6)+F$ en la base hallada en el apartado anterior.

SOLUCIÓN

2  Sea $E$ espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}$ y $F$ un subespacio de $E.$ Sea $(E/F,+)$ el correspondiente grupo cociente, cuya operación suma sabemos que está definida mediante: $(x+F)+(y+F)=(x+y)+F.$ Se define la operación ley externa: $$\lambda (x+F)=(\lambda x)+F,\quad \forall \lambda\in\mathbb{K}\;\forall (x+F)\in E/F.$$ Demostrar que $E/F$ es espacio vectorial sobre $\mathbb{K}$ con las operaciones mencionadas (espacio vectorial cociente).

SOLUCIÓN

3 Sea $E$ un espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}$ de dimensión $n$ y sea $F\subset E$ un subespacio vectorial. Supongamos que $B_{F}=\{u_1,\ldots,u_r\}$ es base de $F$ y que $$B_{E}=\{u_1,\ldots,u_r,u_{r+1},\ldots,u_n\}$$ es base de $E$. Demostrar que una base de $E/F$ es $$B_{E/F}=\{u_{r+1}+F,\ldots,u_n+F\}.$$ Deducir que $\dim E/F=\dim E-\dim F$, igualdad válida también para los casos $r=0$ o $r=n$.

SOLUCIÓN
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