Ceros de las funciones analíticas

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Hallar los ceros de la función $f(z)=z^4+4z^2$ y determinar sus órdenes.
  2. Hallar los ceros de $f(z)=1+\cos z$ y determinar sus multiplicidades.
  3. Hallar el orden del cero $z_0=0$ para la función $f(z)=\dfrac{z^8}{z-\sin z}.$
  4. Hallar los ceros de la función $f(z)=(z^2+1)^3\sinh z$ determinando sus órdenes.
    Solución
  1. Ceros de $f:$ $$z^4+4z^2=0\Leftrightarrow z^2(z^2+4)=0\Leftrightarrow z=0\vee z=\pm 2i.$$ Tenemos $f’(z)=4z^3+8z,\;f^{\prime\prime}(z)=12z^2+8.$ Entonces, $$\begin{aligned}&f(0)=0,\;f’(0)=0,\;f^{\prime\prime}(0)=8\neq 0.\\
    &f(2i)=0,\;f’(2i)=-16i\neq 0.\\
    &f(-2i)=0,\;f’(-2i)=16i\neq 0.\end{aligned}$$ Por tanto, $z=0$ es cero doble y $z=\pm 2i$ son ceros simples.
    Otra forma: $f(z)=z^2(z^2+4)$ con $\varphi(z)=z^2+4,$ $\varphi(z)$ analítica en un entorno de $0$ (en realidad en todo $\mathbb{C}$) y $\varphi(0)\neq 0.$ Es decir, $0$ es cero doble de $f.$ Por otra parte, $$f(z)=(z-2i),\quad\varphi_1(z)=z^2(z+2i),$$ con $\varphi_1(z)$ analítica en un entorno de $2i$ y $\varphi(2i)\neq 0.$ Es decir, $2i$ es cero simple de $f.$ Análogo razonamiento para $-2i.$
  2. Ceros de $f:$ $$\begin{aligned}&1+\cos z=0\Leftrightarrow \cos z=-1\Leftrightarrow \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=-1\Leftrightarrow e^{iz}+\frac{1}{e^{iz}}=-2\\
    & \Leftrightarrow e^{2iz}+2e^{iz}+1=0 \Leftrightarrow (e^{iz}+1)^2=0\Leftrightarrow e^{iz}+1=0\Leftrightarrow e^{iz}=-1.\end{aligned}$$ Llamando $z=x+iy$ con $x,y$ reales: $$\begin{aligned}&e^{iz}=-1\Leftrightarrow e^{-y+ix}=-1\Leftrightarrow e^{-y}(\cos x +i\sin x)=1(\cos \pi+i\sin \pi)\\
    &\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} e^{-y}=1\\x=(2k+1)\pi\;(k\in\mathbb{Z})\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} y=0\\x=(2k+1)\pi\;(k\in\mathbb{Z})\end{matrix}\right.\\
    &\Leftrightarrow z=(2k+1)\pi\;(k\in\mathbb{Z}).\end{aligned}$$Determinemos las multiplicidades $$f’(z)=-\sin z\Rightarrow f’\left((2k+1)\pi\right)=0,$$$$f^{\prime\prime}(z)=-\cos z\Rightarrow f^{\prime\prime}\left((2k+1)\pi\right)=-\cos \left((2k+1)\pi\right)=1\neq 0.$$ Todos los ceros son dobles.
  3. Podemos expresar: $$f(z)=\frac{z^8}{z-\left(z-z^3/3!+z^5/5!+\cdots\right)}=\frac{z^8}{z^3/3!-z^5/5!+\cdots}\\=\frac{z^5}{1/3!-z^2/5!+\cdots}=z^5\cdot \frac{1}{1/3!-z^2/5!+\cdots}.$$Entonces, $\lim_{z\to 0}f(z)=0,$ lo cual implica por el teorema de Riemann que la función $f(z)$ es analítica en un entorno de $0$ si definimos $f(0)=0.$ Dado que $$\varphi (z)=\dfrac{1}{1/3!-z^2/5!+\cdots}$$ es analítica en un entorno de $0$ y $\varphi (0)=3!\neq 0,$ concluimos que $z_0=0$ es cero quíntuple de la función dada.
  4. Ceros de $f:$ $$(z^2+1)^3\sinh z=0\Leftrightarrow (z^2+1)^3=0\vee \sinh z=0\Leftrightarrow z=\pm i\vee \sinh z=0.$$ Por otra parte, $$\sinh z=0\Leftrightarrow \frac{e^z-e^{-z}}{2}=0\Leftrightarrow e^z-\frac{1}{e^z}=0 \Leftrightarrow e^{2z}-1=0.$$ Llamando $z=x+iy$ con $x,y$ reales: $$\begin{aligned}&e^{2z}=1\Leftrightarrow e^{2x+2yi}=1\Leftrightarrow e^{2x}(\cos 2y +i\sin 2y)=1(\cos 0+i\sin 0)\\
    &\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} e^{2x}=1\\2y=2k\pi\;(k\in\mathbb{Z})\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} x=0\\y=k\pi\;(k\in\mathbb{Z})\end{matrix}\right. \Leftrightarrow z=k\pi i\;\;(k\in\mathbb{Z}).\end{aligned}$$ Determinemos el orden de los ceros. Tenemos: $$f(z)=(z-i)^3\left[(z+i)^3\sinh z\right].$$ La función $\varphi (z)=(z+i)^3\sinh z$ es analítica en un entorno de $i$ (en realidad en todo $\mathbb{C}$) y además $\varphi (i)=-8i\sinh i\neq 0,$ luego $i$ es cero triple de $f.$ También $-i$ es cero triple (análogo razonamiento). La derivada de $f$ es $$\begin{aligned}&f’(z)=3(z^2+1)^22z\sinh z+(z^2+1)^3\cosh z\\
    &=(z^2+1)\left[6z\sinh z+(z^2+1)\cosh z\right].\end{aligned}$$ No es difícil comprobar que que $f’(k\pi i)\neq 0$ lo cual implica que $k\pi i$ es cero simple. Podemos concluir: $$\left \{ \begin{matrix} z=\pm i& \mbox{ ceros triples,}\\z=k\pi i\;\;(k\in\mathbb{Z}) & \mbox{ ceros simples.}\end{matrix}\right.$$
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