Concepto de forma bilineal

Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de forma bilineal.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Sea $E=\mathcal{C}[a,b]$ el espacio vectorial real de las funciones reales continuas $x(t)$ en el intervalo $[a,b].$ Se considera la aplicación $$f:E\times E\to \mathbb{R},\quad f[x(t),y(t)]=\int_a^bx(t)y(t)\;dt.$$ Demostrar que $f$ es una forma bilineal.
  2. Sean $E$ y $F$ dos espacios vectoriales sobre el cuerpo $\mathbb{K}$ y sean $f_1:E\to \mathbb{K},$ $f_2:F\to\mathbb{K}$ aplicaciones lineales. Demostrar que la aplicación: $$f:E\times F\to \mathbb{K},\quad f(x,y)=f_1(x)\;f_2(y)$$ es una forma bilineal.
  3. Sea $E=\mathbb{K}^{n\times n}$ el espacio vectorial de las matrices cuadradas de ordenes $n$ y $M\in E$ matriz fija dada. Se define la aplicación: $$f:E\times E\to \mathbb{K},\quad f(X,Y)=\text{tr}\left(X^TMY\right),$$ en donde $\text{tr}$ denota la traza. Demostrar que $f$ es forma bilineal.
  4. Demostrar que la aplicación $$f:\mathbb{R}[x]\times \mathbb{R}[x]\to \mathbb{R},\quad f(p,q)=p(0)\cdot q(0)$$ es una forma bilineal.
    Solución
  1. Para todo $\lambda,\mu\in\mathbb{R},\;$ para todo $x(t),y(t),z(t)\in E,\;$ y teniendo en cuenta las propiedades de linealidad de la integral definida: $\begin{aligned}(i)\quad&f\left(\lambda x(t)+\mu y(t),z(t)\right)=\int_a^b\left(\lambda x(t)+\mu y(t)\right)z(t)\;dt\\
    &=\int_a^b\left(\lambda x(t)z(t)+\mu y(t)z(t)\right)dt=\lambda\int_a^bx(t)z(t)\;dt+\mu\int_a^by(t)z(t)\;dt\\
    &=\lambda f\left ( (x(t),z(t)\right)+\mu f\left( y(t),z(t)\right).\end{aligned}$
    $\begin{aligned}(ii)\quad&f\left(x(t),\lambda y(t)+\mu z(t)\right)=\int_a^bx(t)\left(\lambda y(t)+\mu z(t)\right)dt\\
    &=\int_a^b\left(\lambda x(t)y(t)+\mu x(t)z(t)\right)dt=\lambda\int_a^bx(t)y(t)\;dt+\mu\int_a^bx(t)z(t)\;dt\\
    &=\lambda f\left ( (x(t),y(t)\right)+\mu f\left(x(t),z(t)\right).\end{aligned}$
  2. Para todo $\lambda,\mu\in\mathbb{K},$ para todo $\;x,y\in E,$ para todo $\;z\in F$ y usando la linealidad de $f_1$: $$\begin{aligned}&f(\lambda x+\mu y,z)=f_1(\lambda x+\mu y)\;f_2(z)=\left(\lambda f_1(x)+\mu f_1(y)\right)f_2(z)\\
    &=\lambda f_1(x)\;f_2(z)+\mu f_1(y)\;f_2(z)=\lambda f(x,z)+\mu f(y,z).\end{aligned}$$ Para todo $\lambda,\mu\in\mathbb{K},$ para todo $x\in E$ y para todo $y,z\in F$ y usando la linealidad de $f_2$: $$\begin{aligned}&f(x,\lambda y+\mu z)=f_1(x)\;f_2(\lambda y+\mu z)=f_1(x)\left(\lambda f_2(y)+\mu f_2(z)\right)\\
    &=\lambda f_1(x)\;f_2(y)+\mu f_1(x)\;f_2(z)=\lambda f(x,y)+\mu f(x,z).\end{aligned}$$ Concluimos que $f$ es forma bilineal.
  3. Para todo $\lambda,\mu\in\mathbb{K},$ para todo $X,Y,Z\in E$ y teniendo en cuenta conocidas propiedades de la traza y la transposición: $$\begin{aligned}&f\left(\lambda X+\mu Y,Z\right)=\text{tr}\left(\left(\lambda X+\mu Y\right)^TMZ\right)=\text{tr}\left(\left(\lambda X^T+\mu Y^T\right)MZ\right)\\
    &=\text{tr}\left(\lambda X^TMZ+\mu Y^TMZ\right)=\lambda\;\text{tr}\left(X^TMZ\right)+\mu\;\text{tr}\left(Y^TMZ\right)\\
    &=\lambda \;f\left ( X,Z\right)+\mu\; f\left(Y,Z\right).\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}&f\left(X,\lambda Y+\mu Z\right)=\text{tr}\left(X^TM\left(\lambda Y+\mu Z\right)\right)=\text{tr}\left(\lambda X^TMY+\mu X^TMZ\right)\\
    &=\lambda\;\text{tr}\left(X^TMY\right)+\mu\;\text{tr}\left(X^TMZ\right)=\lambda \;f\left ( X,Y\right)+\mu\; f\left(X,Z\right).\end{aligned}$$ Concluimos que $f$ es forma bilineal.
  4. Para todo $\lambda,\mu\in\mathbb{R},\;$ para todo $p,q,r\in \mathbb{R}[x]:$ $$\begin{aligned}&f(\lambda p+\mu q,r)=\left(\lambda p+\mu q\right)(0)\cdot r(0)=\left(\lambda p(0)+\mu q(0)\right)\cdot r(0)\\
    &=\lambda p(0)\cdot r(0)+\mu q(0)\cdot r(0)=\lambda f(p,r)+\mu f(q,r).\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}&f(p,\lambda q+\mu r)=p(0)\cdot\left(\lambda q+\mu r\right)(0)=p(0)\cdot \left(\lambda q(0)+\mu r(0)\right)\\
    &=\lambda p(0)\cdot q(0)+\mu p(0)\cdot r(0)=\lambda f(p,q)+\mu f(p,r).\end{aligned}$$ Concluimos que $f$ es forma bilineal.
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