Concepto de forma bilineal

Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de forma bilineal.

TEORÍA

1 Sea $E=\mathcal{C}[a,b]$ el espacio vectorial real de las funciones reales continuas $x(t)$ en el intervalo $[a,b].$ Se considera la aplicación $$f:E\times E\to \mathbb{R},\quad f[x(t),y(t)]=\int_a^bx(t)y(t)\;dt.$$ Demostrar que  $f$  es una forma bilineal.

SOLUCIÓN

2 Sean $E$ y $F$ dos espacios vectoriales sobre el cuerpo  $\mathbb{K}$  y sean  $f_1:E\to \mathbb{K},$  $f_2:F\to\mathbb{K}$  aplicaciones lineales. Demostrar que la aplicación: $$f:E\times F\to \mathbb{K},\quad f(x,y)=f_1(x)\;f_2(y)$$ es una forma bilineal.

SOLUCIÓN

3 Sea $E=\mathbb{K}^{n\times n}$ el espacio vectorial de las matrices cuadradas de ordenes $n$ y $M\in E$ matriz fija dada. Se define la aplicación: $$f:E\times E\to \mathbb{K},\quad f(X,Y)=\text{tr}\left(X^TMY\right),$$ en donde $\text{tr}$ denota la traza. Demostrar que $f$ es forma bilineal.

SOLUCIÓN

4 Demostrar que la aplicación $$f:\mathbb{R}[x]\times \mathbb{R}[x]\to \mathbb{R},\quad f(p,q)=p(0)\cdot q(0)$$ es una forma bilineal.

SOLUCIÓN
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