Espacio vectorial de las formas bilineales

Demostramos que las formas bilineales forman un espacio vectorial con las operaciones habituales.

Enunciado
Sean $E$ y $F$ dos espacios vectoriales sobre el cuerpo $\mathbb{K},$ y sea: $$\mathcal{B}(E,F)=\{f:E\times F\to\mathbb{K}: f\text{ es forma bilineal}\}.$$ Demostrar que $\mathcal{B}(E,F)$ es espacio vectorial sobre $\mathbb{K}$ con las operaciones:
Suma:  $\quad\forall f,g\in \mathcal{B}(E,F),\quad (f+g)(x,y)=f(x,y)+g(x,y).$
Ley externa:  $\quad\forall \alpha\in \mathbb{K}\;\forall f\in \mathcal{B}(E,F),\quad (\alpha f)(x,y)=\alpha f(x,y).$

Solución
Sabemos que  $\mathcal{F}(X,\mathbb{K})$ conjunto de las  aplicaciones de un conjunto $X\neq \emptyset$ sobre un cuerpo $\mathbb{K}$ es un espacio vectorial con las operaciones

Suma. Para todo  $f,g$ elementos de $\mathcal{F}(X,\mathbb{K})$: $$(f+g)(x)=f(x)+g(x)\qquad \forall x\in X.$$ Ley externa. Para todo  $f\in \mathcal{F}(X,\mathbb{K}),$ y para todo $\alpha\in \mathbb{K}:$ $$(\alpha f)(x)=\alpha f(x)\qquad \forall x\in X.$$ (Ver la observación final de Espacio vectorial de las funciones reales).

En consecuencia, basta demostrar que  $\mathcal{B}(E,F)$ es subespacio vectorial de $\mathcal{F}(E\times F,\mathbb{K})$.

$(i)$  La aplicación nula de  $\mathcal{F}(E\times F,\mathbb{K})$ es claramente bilineal.

$(ii)$  Sean $f,g\in$  $\mathcal{B}(E,F).$ Entonces, para todo $\lambda,\mu\in \mathbb{K},$ para todo $x,y\in E,$ para todo $z\in F$ y usando que  $f$ y  $g$ son formas bilineales: $$(f+g)\left(\lambda x+\mu y,z\right)=f\left(\lambda x+\mu y,z\right)+g\left(\lambda x+\mu y,z\right)$$$$=\lambda f(x,z)+\mu f(y,z)+\lambda g(x,z)+\mu g(y,z)$$$$=\lambda \left(f(x,z)+g(x,z)\right)+\mu\left(f(y,z)+g(y,z)\right)$$$$=\lambda \left(f+g\right)(x,z)+\mu \left(f+g\right)(y,z).$$ De manera análoga se demuestra la segunda condición de forma bilineal. Por tanto,  $f+g\in\mathcal{B}(E,F).$

$(iii)$  Sean  $\alpha\in\mathbb{K}$ y  $f\in\mathcal{B}(E,F).$ Entonces, para todo $\lambda,\mu\in \mathbb{K},$ para todo $x,y\in E,$ para todo $z\in F$ y usando que  $f$ es forma bilineal: $$(\alpha f)(\lambda x+\mu y,z)=\alpha \left(f(\lambda x+\mu y,z)\right)=\alpha \left(\lambda f(x,z)+\mu f(y,z)\right)$$ $$=\lambda\left( \alpha f(x,z)\right)+\mu\left( \alpha f(y,z)\right)=\lambda (\alpha f)(x,z)+\mu (\alpha f)(y,z).$$ De manera análoga se demuestra la segunda condición de forma bilineal. Por tanto,  $\alpha f\in\mathcal{B}(E,F).$

Hemos demostrado que $\mathcal{B}(E,F)$ es subespacio vectorial de $\mathcal{F}(X,\mathbb{K}),$ en consecuencia es espacio vectorial.

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