Regla de Barrow

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Calcular $\displaystyle\int_{-1}^2x^3\;dx.$
  2. Calcular $I=\displaystyle\int_0^\pi \operatorname{sen}^5x\;dx.$
  3. Demostrar la regla de Barrow:
    Sea $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ una función continua y sea $F$ una primitiva de $f$ en $[a,b].$ Entonces, $$\int_a^bf(x)\;dx=F(b)-F(a).$$
    Solución
  1. Usando la regla de Barrow: $$\int_{-1}^2x^3\;dx=\left[\frac{x^4}{4}\right]_{-1}^2=\frac{2^4}{4}-\frac{(-1)^4}{4}=\frac{15}{4}.$$
  2. Hallemos una primitiva de $f(x)=\operatorname{sen}^5x.$ Efectuando la sustitución $t=\cos x,$ $dt=-\operatorname{sen} x\;dx$ y por tanto: $$I=\int \operatorname{sen}^4x\;\operatorname{sen}x\;dx=\int \left(1-\cos^2x\right)^2\operatorname{sen}x\;dx$$ $$=-\int \left(1-t^2\right)^2\;dt=-\int \left(1-2t^2+t^4\right)\;dt$$ $$=-t+\frac{2t^3}{3}-\frac{t^5}{5}=-\cos x+\frac{2\cos^3x}{3}-\frac{\cos^5x}{5}.$$ Usando la regla de Barrow: $$\displaystyle\int_0^\pi \operatorname{sen}^5x\;dx=\left[-\cos x+\frac{2\cos^3x}{3}-\frac{\cos^5x}{5}\right]_0^\pi$$ $$=\left(-\cos \pi+\frac{2\cos^3\pi}{3}-\frac{\cos^5\pi}{5}\right)-\left(-\cos 0+\frac{2\cos^30}{3}-\frac{\cos^50}{5}\right)$$ $$=\left(1-\frac{2}{3}+\frac{1}{5}\right)-\left(-1+\frac{2}{3}-\frac{1}{5}\right)=\frac{16}{15}.$$
  3. Consideremos la función $$G:[a,b]\to\mathbb{R},\quad G(x)=\int_a^xf(t)\;dt.$$ Como consecuencia del teorema fundamental del Cálculo, $G$ es una primitiva de $f$ que además se anula en $a.$ Pero la función $F(x)-F(a)$ es también una primitiva de $f$ que se anula en $a,$ lo cual implica $$\begin{aligned}&G(x)=F(x)-F(a)+C\;\;(C\text{ constante),}\\
    \end{aligned}$$ y para $a=0$ queda $0=C,$ luego $G(x)=F(x)-F(a)$ para todo $x\in[a,b].$ Haciendo $x=b:$ $$\int_a^bf(x)\;dx=F(b)-F(a).$$
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