Concepto de sistema autónomo

TEORÍA

Enunciado
1.  Analizar si el siguiente sistema diferencial es autónomo $$\left \{ \begin{matrix} x’_1=1+x_1^2\\x’_2=-2x_1x_2\end{matrix}\right.\quad \left \{ \begin{matrix} x_1(0)=0\\x_2(0)=1.\end{matrix}\right.$$ 2.  Analizar si el siguiente sistema diferencial es autónomo $$\left \{ \begin{matrix} x’_1=x_1\cos t\\x’_2=-x_1x_2\end{matrix}\right.\quad \left \{ \begin{matrix} x_1(0)=0\\x_2(0)=0.\end{matrix}\right.$$

Solución
1.  El campo vectorial $v=(1+x_1^2,-2x_1x_2)^T$ está definido en el abierto $M=\mathbb{R}^2$. Además, las parciales $$\begin{aligned}&\frac{\partial v_1}{\partial x_1}=2x_1,\;\frac{\partial v_1}{\partial x_2}=0,\\
&\frac{\partial v_2}{\partial x_1}=-2x_2,\;\frac{\partial v_2}{\partial x_2}=-2x_1,\end{aligned}$$ son continuas en $M$ por tanto $v$ es al menos de clase $1.$ El sistema dado es autónomo.

2.  Aparece explícitamente la variable independiente $t$ en el segundo miembro de $v(x),$ en consecuencia el sistema no es autónomo.

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