Matriz de una forma bilineal

Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de matriz de una forma bilineal.

TEORÍA

1 Sean $E$ y $F$ espacios vectoriales sobre el cuerpo $\mathbb{R}$ y $$B_E=\{u_1,u_2,u_3\},\quad B_F=\{v_1,v_2\}$$ bases de $E$ y $F$ respectivamente. Sea  $ f:E\times F\to \mathbb{R}$ una forma bilineal que satisface: $$\begin{matrix}{f(u_1,v_1)=2}&{f(u_2,v_1)=-6 }&{f(u_3,2v_1)=4}\\{f(u_1,v_2)=-3 }&{f(4u_2,v_2)=0}&{f(2u_3,v_2)=6}.\end{matrix}$$ Se pide
1.  Hallar la matriz $A$ de $f$ en las bases $B_E$ y $B_F$
2.  Hallar la ecuación matricial de $f$ en las mismas bases.
3. Hallar $f(x,y),$ siendo $x=u_1+2u_3,$  $y=2v_1.$
4.  Hallar la expresión desarrollada de $f(x,y).$

SOLUCIÓN

2 Se considera la forma bilineal: $$f:\mathbb{R}_2[x]\times \mathbb{R}_2[x]\to \mathbb{R},\quad f(p,q)=p(0)\cdot q(0).$$ Hallar la matriz de $f$ respecto de la base $$B=\{2+x-x^2,1+2x,3\}.$$

SOLUCIÓN

3 Se considera la forma bilineal $$f:\mathbb{R}^{2\times 2}\times\mathbb{R}^{2\times 2}\to \mathbb{R},\quad f(X,Y)=\text{tr}\left(X^TY\right).$$ Hallar su matriz respecto de la base canónica.

SOLUCIÓN

4  Sean $E$ y $F$ espacios vectoriales sobre el cuerpo $\mathbb{K}$ y $$B_E=\{u_1,\ldots,u_m\},\quad B_F=\{v_1,\ldots,v_n\}$$ bases de $E$ y $F$ respectivamente. Sea  $ f:E\times F\to \mathbb{K}$ una forma bilineal. Denotemos $$a_{ij}=f(u_iv_j)\quad (i=1,\ldots m,\quad j=1,\ldots n).$$ Demostrar que para todo $(x,y)\in E\times F$ se verifica: $$f(x,y)=\begin{bmatrix}x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_m\end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} &a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots&&&\vdots \\ a_{m1} & a_{m2} &\ldots & a_{mn}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_1\\{y_2}\\ \vdots\\{y_n}\end{bmatrix}$$ en donde $(x_1,\ldots,x_m)^T$ son las coordenadas de $x$ en $B_E$ e $(y_1,\ldots,y_n)^T$ son las de $y$ en $B_F.$

SOLUCIÓN
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