Matriz de una forma bilineal

Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de matriz de una forma bilineal.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Sean $E$ y $F$ espacios vectoriales sobre el cuerpo $\mathbb{R}$ y $$B_E=\{u_1,u_2,u_3\},\quad B_F=\{v_1,v_2\}$$ bases de $E$ y $F$ respectivamente. Sea $ f:E\times F\to \mathbb{R}$ una forma bilineal que satisface: $$\begin{matrix}{f(u_1,v_1)=2}&{f(u_2,v_1)=-6 }&{f(u_3,2v_1)=4}\\{f(u_1,v_2)=-3 }&{f(4u_2,v_2)=0}&{f(2u_3,v_2)=6}.\end{matrix}$$ Se pide
    (a) Hallar la matriz $A$ de $f$ en las bases $B_E$ y $B_F$
    (b) Hallar la ecuación matricial de $f$ en las mismas bases.
    (c) Hallar $f(x,y),$ siendo $x=u_1+2u_3,$ $y=2v_1.$
    (d) Hallar la expresión desarrollada de $f(x,y).$
  2. Se considera la forma bilineal: $$f:\mathbb{R}_2[x]\times \mathbb{R}_2[x]\to \mathbb{R},\quad f(p,q)=p(0)\cdot q(0).$$ Hallar la matriz de $f$ respecto de la base $$B=\{2+x-x^2,1+2x,3\}.$$
  3. Se considera la forma bilineal $$f:\mathbb{R}^{2\times 2}\times\mathbb{R}^{2\times 2}\to \mathbb{R},\quad f(X,Y)=\text{tr}\left(X^TY\right).$$ Hallar su matriz respecto de la base canónica.
  4. Sean $E$ y $F$ espacios vectoriales sobre el cuerpo $\mathbb{K}$ y $$B_E=\{u_1,\ldots,u_m\},\quad B_F=\{v_1,\ldots,v_n\}$$ bases de $E$ y $F$ respectivamente. Sea $ f:E\times F\to \mathbb{K}$ una forma bilineal. Denotemos $$a_{ij}=f(u_iv_j)\quad (i=1,\ldots m,\quad j=1,\ldots n).$$ Demostrar que para todo $(x,y)\in E\times F$ se verifica: $$f(x,y)=\begin{bmatrix}x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_m\end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} &a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots&&&\vdots \\ a_{m1} & a_{m2} &\ldots & a_{mn}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_1\\{y_2}\\ \vdots\\{y_n}\end{bmatrix}$$ en donde $(x_1,\ldots,x_m)^T$ son las coordenadas de $x$ en $B_E$ e $(y_1,\ldots,y_n)^T$ son las de $y$ en $B_F.$
    Solución
  1. (a) Usando la blinealidad de $f,$ podemos escribir las igualdades dadas en la forma: $$\begin{matrix}{f(u_1,v_1)=2}&{f(u_2,v_1)=-6 }&{2f(u_3,v_1)=2}\\{f(u_1,v_2)=-3 }&{4f(u_2,v_2)=0}&{-6f(u_3,v_2)=6}.\end{matrix}$$ En consecuencia,$$A=\begin{bmatrix}{f(u_1,v_1)}&{f(u_1,v_2) }\\{f(u_2,v_1) }&{f(u_2,v_2)}\\ f(u_3,v_1)&f(u_3,v_2)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{2}&{-3 }\\{-6 }&{0}\\ 1&-1\end{bmatrix}.$$ (b) La ecuación matricial es $$f(x,y)=X^TAY=\begin{bmatrix}x_1,\;x_2,\;x_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{2}&{-3 }\\{-6 }&{0}\\ 1&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_1\\{y_2}\end{bmatrix}.$$ (c) Sustituyendo las coordenadas de $x$ e $y$ en la ecuación matricial $$f(x,y)=\begin{bmatrix}1,\;0,\;2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{2}&{-3 }\\{-6 }&{0}\\ 1&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\{0}\end{bmatrix}=\ldots=8.$$ (d) Multiplicando matrices en la ecuación matricial: $$\begin{aligned}f(x,y)&=\begin{bmatrix}x_1,\;x_2,\;x_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{2}&{-3 }\\{-6 }&{0}\\ 1&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_1\\{y_2}\end{bmatrix}\\
    &=2x_1y_1-3x_1y_2-6x_2y_1+x_3y_1-x_3y_2.\end{aligned}$$ Observación. Nótese que al desarrollar la ecuación matricial, el coeficiente $x_iy_j$ es $a_{ij}.$
  2. En este caso $E=F=\mathbb{R}[x].$ Como sólo se menciona una base, se supone que $B_E=B_F=B.$ Llamemos $u_1=2+x-x^2,$ $u_2=1+2x,$ $u_3=3$ y hallemos los correspondientes transformados: $$\begin{matrix}{f(u_1,u_1)=2\cdot 2=4}&{f(u_1,u_2)=2\cdot 1=2 }&{f(u_1,u_3)=2\cdot 3=6},\\
    {f(u_2,u_1)=1\cdot 2=2}&{f(u_2,u_2)=1\cdot 1=1 }&{f(u_2,u_3)=1\cdot 3=3},\\
    {f(u_3,u_1)=3\cdot 2=6}&{f(u_3,u_2)=3\cdot 1=3 }&{f(u_3,u_3)=3\cdot 3=9}.\end{matrix}$$ La matriz pedida es por tanto $$A=\begin{bmatrix}{4}&{2 }&{6}\\
    {2}&{1 }&{3}\\
    {6}&{3 }&{9}\end{bmatrix}.$$
  3. En este caso es más directo hallar la expresión desarrollada de $f$ que los transformado de los pares de la base canónica. Sean los elementos de $\mathbb{R}^{2\times 2}:$ $$X=\begin{bmatrix}{x_1}&{x_2}\\{x_3}&{x_4}\end{bmatrix},\quad Y=\begin{bmatrix}{y_1}&{y_2}\\{y_3}&{y_4}\end{bmatrix}.$$ Tenemos $$f(X,Y)=\text{tr}\left(X^TY\right)=\text{tr}\begin{bmatrix}{x_1}&{x_3}\\{x_2}&{x_4}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{y_1}&{y_2}\\{y_3}&{y_4}\end{bmatrix}$$ $$=\text{tr}\begin{bmatrix}{x_1y_1+x_3y_3}&{x_1y_2+x_3y_4}\\{x_2y_1+x_4y_3}&{x_2y_2+x_4y_4}\end{bmatrix}=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4$$ $$=\begin{bmatrix}x_1,\;x_2,\;x_3,\;x_4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{1}&{0 }&0&0\\{0 }&{1}&0&0\\ 0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_1\\{y_2}\\y_3\\y_4\end{bmatrix}.\quad (*)$$ Las coordenadas de $X$ e $Y$ con respecto de la base canónica de $\mathbb{R}^{2\times 2}$ son respectivamente $$(x_1,x_2,x_3,x_4)^T,\quad (y_1,y_2,y_3,y_4)^T,$$ por tanto $(*)$ es la ecuación matricial de $f$ en la base canónica de $\mathbb{R}^{2\times 2}.$ En consecuencia la matriz pedida es $$A=\begin{bmatrix}{1}&{0 }&0&0\\{0 }&{1}&0&0\\ 0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}=I_4.$$
  4. Usando la bilinealidad de $f:$ $$f(x,y)=f\left(\sum_{i=1}^m x_iu_i,\sum_{j=1}^n y_ju_j\right)=\sum_{i=1}^mx_i\;f\left(u_i,\sum_{j=1}^ny_jv_j\right)$$ $$=\sum_{i=1}^mx_i\left(\sum_{j=1}^ny_j\;f(u_i,v_j)\right)=\begin{bmatrix}x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_m\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\sum_{j=1}^ny_j\;f(u_1,v_j)\\\sum_{j=1}^ny_j\;f(u_2,v_j)\\ \vdots\\\sum_{j=1}^ny_j\;f(u_m,v_j)\end{bmatrix}$$ $$=\begin{bmatrix}x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_m\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\sum_{j=1}^ny_j\;a_{1j}\\\sum_{j=1}^ny_j\;a_{2j}\\ \vdots\\\sum_{j=1}^ny_j\;a_{mj}\end{bmatrix}$$ $$=\begin{bmatrix}x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_m\end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} &a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots&&&\vdots \\ a_{m1} & a_{m2} &\ldots & a_{mn}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_1\\{y_2}\\ \vdots\\{y_n}\end{bmatrix}.$$
Esta entrada fue publicada en Álgebra. Guarda el enlace permanente.