Formas bilineales simétricas y antisimétricas

Proporcionamos ejercicios de formas bilineales simétricas y antisimétricas.

TEORÍA

1 Se consideran las formas bilineales en un espacio vectorial real de dimención 2, cuyas expresiones en coordenadas en una determinada base son:

$(a)\;\; f(x,y)=2x_1y_1-5x_2y_1-5x_1y_2+4x_2y_2.$
$(b)\;\; g(x,y)=-3x_2y_1+3x_1y_2.$
$(c)\;\; h(x,y)=x_1y_1+7x_2y_1-2x_1y_2+6x_2y_2.$

Estudiar en cada caso si la forma es simétrica o antisimétrica.

SOLUCIÓN

2 Estudiar si es simétrica la forma bilineal $$f:\mathbb{R}[x]\times \mathbb{R}[x]\to \mathbb{R},\quad f(p,q)=p(0)\cdot q(0).$$

SOLUCIÓN

3 Se considera la formas bilineal en un espacio vectorial real de dimención 2, cuya expresión en coordenadas en una determinada base es: $$f(x,y)=2x_1y_1+7x_1y_2+6x_2y_1-x_2y_2.$$ Descomponerla en suma de una forma bilineal simétrica y otra antisimétrica.

SOLUCIÓN

4 Sea $f:E\times E\to\mathbb{K}$ una forma bilineal. Se dice que es alternada si, y sólo si $f(u,u)=0$ para todo $u\in E.$

$(a)\;$ Demostrar que si $f$ es alternada, entonces es antisimétrica.
$(b)\;$ Demostrar que si $f$ es antisimétrica y $\text{carac }\mathbb{K}\neq 2,$ entonces $f$ es alternada.

SOLUCIÓN
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