Formas bilineales: cambio de base

Proporcionamos ejercicios de cambio de base asociado a las formas bilineales.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. La matriz de una forma bilineal $f=E\times F\to\mathbb{K}$ en las bases $B_E=\{u_1,u_2\}$ y $B_F=\{v_1,v_2,v_3\}$ es $$A=\begin{bmatrix}{2}&{-1}&{1}\\{3}&{4}&{1}\end{bmatrix}.$$ Hallar la matriz de $f$ en las nuevas bases $$B’_E=\{u_1-u_2,u_1+u_2\},\quad B’_F=\{v_1,v_1+v_2,v_1+v_2+v_3\}.$$
  2. La matriz de la forma bilineal $f:\mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ en la base $B=\{(1,2),(3,-7)\}$ es $A=\begin{bmatrix}{2}&{-1}\\{3}&{6}\end{bmatrix}.$ Hallar la matriz de $f$ en la base canónica de $\mathbb{R}^2.$
  3. Sean $E$ y $F$ espacios vectoriales sobre el cuerpo $\mathbb{K}$ ambos de dimensión finita y $f:E\times F\to \mathbb{K}$ una forma bilineal. Sean $B_E$ y $B_F$ bases de $E$ y $F$ respectivamente y $A$ la matriz de $f$ en las bases $B_E$ y $B_F$
    Sea $B’_E$ una nueva base de $E$ y $B’_F$ una nueva base de $F.$ Sea $P$ la matriz de cambio de $B_E$ a $B’_E$ y $Q$ la matriz de cambio de $B_F$ a $B’_F.$
    Demostrar que la matriz de la forma bilineal $f$ en la nuevas bases $B’_E$ y $B’_F$ es $P^TAQ.$
  4. Demostrar que la relación en $\mathbb{K}^{n\times n}$ $$ A\sim B\Leftrightarrow A\text{ es congruente con }B$$ es una relación de equivalencia.
    Solución
  1. La matrices de cambio de $B_E$ a $B’_E$ y de $B_F$ a $B’_F$ son respectivamente $$P=\begin{bmatrix}{1}&{1}\\{-1}&{1}\end{bmatrix},\quad Q=\begin{bmatrix}{1}&{1}&{1}\\{0}&{1}&{1}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}.$$ La matriz pedida es por tanto $$\begin{aligned}P^TAQ&\;=\begin{bmatrix}{1}&{-1}\\{1}&{1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{2}&{-1}&{1}\\{3}&{4}&{1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{1}&{1}&{1}\\{0}&{1}&{1}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}\\
    &\;=\begin{bmatrix}{-1}&{-6}&{-6}\\{5}&{8}&{10}\end{bmatrix}.\end{aligned}$$
  2. Estamos en el caso particular del cambio de base. La matriz de cambio de la base canónica $B’=\{(1,0),(0,1)\}$ a la base $B$ es $$\begin{bmatrix}{1}&{3}\\{2}&{-7}\end{bmatrix},$$ por tanto la matriz de cambio de $B$ a $B’$ es $$P=\begin{bmatrix}{1}&{3}\\{2}&{-7}\end{bmatrix}^{-1}=\frac{1}{13}\begin{bmatrix}{7}&{3}\\{2}&{-1}\end{bmatrix}.$$ La matriz pedida es por tanto: $$B=P^TAP=\frac{1}{169}\begin{bmatrix}{150}&{55}\\{3}&{18}\end{bmatrix}.$$
  3. La expresión de $f$ en las bases $B_E$ y $B_F$ es $$f(x,y)=X^TAY,\qquad (1)$$ siendo $X$ las coordenadas de $x$ en $B_E$ e $Y$ las de $y$ en $B_F.$ Las ecuaciones del cambio de base en $E$ y $F$ son respectivamente $$X=PX’,\quad Y=QY’,\qquad (2)$$ siendo $X’$ las coordennadas de $x$ en $B’_E$ e $Y’$ las de $y$ en $B’_F.$ Sustituyendo las igualdades $(2)$ en $(1):$ $$f(x,y)=\left(PX’\right)^TAQY’=X’^{\;T}\left(P^TAQ\right)Y’.$$ La matriz de $f$ en la nuevas bases $B’_E$ y $B’_F$ es por tanto $P^TAQ.$
  4. Reflexiva. Para todo $A\in \mathbb{K}^{n\times n}$ se verifica $A=I^TAI$ siendo $I$ invertible, por tanto $A\sim A.$
    Simétrica. Para todo $A,B\in \mathbb{K}^{n\times n}:$ $$\begin{aligned}&A\sim B\Rightarrow \exists P\in \mathbb{K}^{n\times n}\text{ invertible }:B=P^TAP \Rightarrow A=\left(P^T\right)^{-1}BP^{-1}\\
    &\Rightarrow A=\left(P^{-1}\right)^TBP^{-1}\text{ con }P^{-1}\text{ invertible }\Rightarrow B\sim A.\end{aligned}$$ Transitiva. Para todo $A,B, C\in \mathbb{K}^{n\times n}:$ $$\left \{ \begin{matrix} A\sim B\\B\sim C\end{matrix}\right.\Rightarrow \left \{ \begin{matrix} \exists P\in \mathbb{K}^{n\times n}\text{ invertible }:B=P^TAP\\\exists Q\in \mathbb{K}^{n\times n}\text{ invertible }:C=Q^TBQ\end{matrix}\right.\Rightarrow$$ $$C=Q^T\left(P^TAP\right)Q=(PQ)^TA(PQ)\text{ con } PQ\text{ invertible}\Rightarrow A\sim C.$$
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