Formas bilineales: cambio de base

Proporcionamos ejercicios de cambio de base asociado a las formas bilineales.

TEORÍA

1 La matriz de una forma bilineal  $f=E\times F\to\mathbb{K}$ en las bases $B_E=\{u_1,u_2\}$ y $B_F=\{v_1,v_2,v_3\}$ es $$A=\begin{bmatrix}{2}&{-1}&{1}\\{3}&{4}&{1}\end{bmatrix}.$$ Hallar la matriz de  $f$ en las nuevas bases $$B’_E=\{u_1-u_2,u_1+u_2\},\quad B’_F=\{v_1,v_1+v_2,v_1+v_2+v_3\}.$$

SOLUCIÓN

2 La matriz de la forma bilineal  $f:\mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ en la base $B=\{(1,2),(3,-7)\}$ es $A=\begin{bmatrix}{2}&{-1}\\{3}&{6}\end{bmatrix}.$ Hallar la matriz de  $f$ en la base canónica de $\mathbb{R}^2.$

SOLUCIÓN

3  Sean $E$ y $F$ espacios vectoriales sobre el cuerpo $\mathbb{K}$ ambos de dimensión finita y $f:E\times F\to \mathbb{K}$ una forma bilineal. Sean $B_E$ y $B_F$ bases de $E$ y $F$ respectivamente y $A$ la matriz de $f$ en las bases $B_E$ y $B_F$
Sea $B’_E$ una nueva base de $E$ y $B’_F$ una nueva base de $F.$ Sea $P$ la matriz de cambio de $B_E$ a $B’_E$ y $Q$ la matriz de cambio de $B_F$ a $B’_F.$
Demostrar que la matriz de la forma bilineal  $f$ en la nuevas bases $B’_E$ y $B’_F$ es $P^TAQ.$

SOLUCIÓN

4  Demostrar que la relación en $\mathbb{K}^{n\times n}$ $$ A\sim B\Leftrightarrow A\text{ es congruente con }B$$ es una relación de equivalencia.

SOLUCIÓN

Reflexiva. Para todo $A\in \mathbb{K}^{n\times n}$ se verifica $A=I^TAI$ siendo $I$ invertible, por tanto $A\sim A.$

Simétrica. Para todo $A,B\in \mathbb{K}^{n\times n}:$ $$\begin{aligned}&A\sim B\Rightarrow \exists P\in \mathbb{K}^{n\times n}\text{ invertible }:B=P^TAP \Rightarrow A=\left(P^T\right)^{-1}BP^{-1}\\
&\Rightarrow A=\left(P^{-1}\right)^TBP^{-1}\text{ con }P^{-1}\text{ invertible }\Rightarrow B\sim A.\end{aligned}$$ Transitiva. Para todo $A,B, C\in \mathbb{K}^{n\times n}:$ $$\left \{ \begin{matrix}  A\sim B\\B\sim C\end{matrix}\right.\Rightarrow \left \{ \begin{matrix} \exists P\in \mathbb{K}^{n\times n}\text{ invertible }:B=P^TAP\\\exists Q\in \mathbb{K}^{n\times n}\text{ invertible }:C=Q^TBQ\end{matrix}\right.\Rightarrow$$ $$C=Q^T\left(P^TAP\right)Q=(PQ)^TA(PQ)\text{ con } PQ\text{ invertible}\Rightarrow A\sim C.$$

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