Polinomio mínimo

Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de polinomio mínimo.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Hallar el polinomio mínimo de la matriz $$A=\begin{bmatrix}{2}&{1}&{0}&0\\{0}&{2}&{0}&0\\{0}&{0}&{1}&1\\0&0&-2&4\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^{4\times4}.$$
  2. Hallar el polinomio mínimo de la matriz $$A=\begin{bmatrix}{5}&{-9}&{-4}\\{6}&{-11}&{-5}\\{-7}&{13}&{6}\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^{3\times 3}.$$
  3. Hallar el polinomio mínimo del endomorfismo derivación $D$ en $\mathbb{R}_4[x].$
  4. Sea $p(x)=x^3-1$ el polinomio mínimo de un endomorfismo $f$ en $\mathbb{R}^4.$ Demostrar que $f$ es invertible y que $f^{-1}=f^2.$
  5. Hallar el polinomio mínimo del endomorfismo $f:\mathbb{R}_3[x]\to\mathbb{R}_3[x]$ dado por $$f[p(x)]=\frac{p(2x)-p(x)}{x}.$$
    Solución
  1. Polinomio característico de $A:$ $$\chi (\lambda)=\begin{vmatrix}{2-\lambda}&{1}&{0}&0\\{0}&{2-\lambda}&{0}&0\\{0}&{0}&{1-\lambda}&1\\0&0&-2&4-\lambda\end{vmatrix}$$ $$=(2-\lambda)^2(\lambda^2-5\lambda+6)=(\lambda-2)^3(\lambda-3).$$ Como el polinomio mínimo de $A$ divide al característico y tiene los mismos factores irreducibles, los posibles polinomios mínimos de $A$ son $$\mu_1(\lambda)=(\lambda-2)(\lambda-3),$$ $$\mu_2(\lambda)=(\lambda-2)^2(\lambda-3),$$ $$\mu_3(\lambda)=(\lambda-2)^3(\lambda-3).$$ Sustituyendo $\lambda$ por $A:$ $$\mu_1(A)=(A-2I)(A-3I)=\ldots \neq 0,$$ $$\mu_2(A)=(A-2I)^2(A-3I)=\ldots =0.$$ En consecuencia, el polinomio mínimo de $A$ es $\mu(\lambda)=(\lambda-2)^2(\lambda-3).$[
  2. Polinomio característico de $A:$ $$\chi (\lambda)=\begin{vmatrix}{5-\lambda}&{-9}&{-4}\\{6}&{-11-\lambda}&{-5}\\{-7}&{13}&{6-\lambda}\end{vmatrix}.$$ Efectuando la transformación $C_1\rightarrow C_1+C_2-C_3:$ $$\chi (\lambda)=\begin{vmatrix}{-\lambda}&{-9}&{-4}\\{-\lambda}&{-11-\lambda}&{-5}\\{\lambda}&{13}&{6-\lambda}\end{vmatrix}$$ $$=\lambda \begin{vmatrix}{-1}&{-9}&{-4}\\{-1}&{-11-\lambda}&{-5}\\{1}&{13}&{6-\lambda}\end{vmatrix}=\lambda(-\lambda)^2=-\lambda^3.$$ Los posibles polinomios mínimos de $A$ son: $$\mu_1(\lambda)=\lambda,\;\;\mu_2(\lambda)=\lambda^2,\;\;\mu_3(\lambda)=\lambda^3.$$ Sustituyendo $\lambda$ por $A:$ $$\mu_1(A)=A\neq0,\;\;\mu_2(A)=A^2=\ldots\neq0.$$ En consecuencia, el polinomio mínimo de $A$ es $\mu(\lambda)=\lambda^3.$
  3. Hallemos la matriz $A$ de $D$ con respecto de la base canónica de $\mathbb{R}_4[x]$. Tenemos $$D(1)=0,\;D(x)=1,\;D(x^2)=2x,\;D(x^3)=3x^2,\;D(x^4)=4x^3.$$ Trasponiendo coeficientes:$$A=\begin{bmatrix}{0}&{1}&{0}&0&0\\{0}&{0}&{2}&0&0\\{0}&{0}&{0}&3&0\\{0}&{0}&{0}&0&4\\{0}&{0}&{0}&0&0\end{bmatrix}.$$ El polinomio característico de $A$ es $\chi (\lambda)=\lambda^5,$ por tanto los posibles polinomios mínimos de $A$ son $$\mu_1(\lambda)=\lambda,\;\mu_2(\lambda)=\lambda^2,\;\mu_3(\lambda)=\lambda^3,\;\mu_4(\lambda)=\lambda^4,\;\mu_5(\lambda)=\lambda^5.$$ Sustituyendo $\lambda$ por $A$ obtenemos $$\begin{aligned}&\mu_1(A)=A\neq 0,\;\mu_2(A)=A^2=\ldots \neq 0,\\
    &\mu_3(A)=A^3=\ldots \neq 0,\;\mu_4(A)=A^4=\ldots \neq 0.\end{aligned}$$ En consecuencia, el polinomio mínimo de $D$ es $\mu(\lambda)=\lambda^5.$
  4. Se verifica $p(f)=f^3-I=0$ es decir, $f^3=I$ o equivalentemente $f\left(f^2\right)=I,$ lo cual implica que $f$ es invertible y que $f^{-1}=f^2.$
  5. Hallemos la matriz $A$ de $f$ con respecto de la base canónica de $\mathbb{R}_3[x].$ $$f(1)=\frac{1-1}{x}=0,\quad f(x)=\frac{2x-x}{x}=1,$$ $$f(x^2)=\frac{4x^2-x^2}{x}=3x,\quad f(x^3)=\frac{8x^3-x^3}{x}=7x^2.$$ Transponiendo coeficientes $$A=\begin{bmatrix}{0}&{1}&{0}&0 \\{0}&{0}&{3}& 0\\{0}&{0}&{0}& 7\\{0}&{0}&{0}& 0\end{bmatrix}$$ El polinomio característico de $f$ es $\chi(\lambda)=\lambda^4,$ con lo cual los posibles polinomios mínimos de $f$ son $\mu_1(\lambda)=\lambda,$ $\mu_2(\lambda)=\lambda^2,$ $\mu_3(\lambda)=\lambda^3$ o $\mu_4(\lambda)=\lambda^4.$ Fácilmente verificamos que $$\mu_1(A)=A\ne 0,\quad\mu_2(A)=A^2\ne 0,\quad\mu_3(A)=A^3\ne 0,$$ es decir, el polinomio mínimo de $f$ es $\lambda^4.$
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