Concepto de forma cuadrática

Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de forma cuadrática.

TEORÍA

1 Determinar las formas cuadráticas asociadas a las formas bilineales:

$f_1(x,y)=\begin{pmatrix}x_1,\;x_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{2}&{4 }\\{-1 }&{7}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\{y_2}\end{pmatrix}.$
$f_2(x,y)=\begin{pmatrix}x_1,\;x_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{2}&{-3 }\\{6 }&{7}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\{y_2}\end{pmatrix}.$
$f_3(x,y)=\begin{pmatrix}x_1,\;x_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{2}&{3/2 }\\{3/2 }&{7}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\{y_2}\end{pmatrix}.$

SOLUCIÓN

2 Se considera la forma cuadrática $q:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}:$ $$q(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+7x_2^2-x_3^2+8x_1x_2+5x_1x_3-4x_2x_3.$$ Expresarla mediante una matriz simétrica y mediante un par de ellas que no lo sean.

SOLUCIÓN

3 Sea $q$ la forma cuadrática asociada a una forma bilineal  $f$ en un espacio vectorial $E.$ Demostrar que para toda terna de vectores $x,y,z\in E$ se verifica: $$q(x+y+z)=q(x+y)+q(x+z)+q(y+z)-q(x)-q(y)-q(z).$$

SOLUCIÓN

4 Sea $q:E\to \mathbb{K}$ una forma cuadrática. Demostrar la identidad $$q(x+y)+q(x-y)=2\left(q(x)+q(y)\right)\quad \forall x,y\in E.$$

SOLUCIÓN

5 Sea $q:E\to \mathbb{K}$ una forma cuadrática. Demostrar que:

$(a)\;\; q(0)=0.$
$(b)\;\;q(\lambda x)=\lambda^2q(x)\quad \forall \lambda\in\mathbb{K},\;\forall x\in E.$

SOLUCIÓN
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