Concepto de forma cuadrática

Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de forma cuadrática.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Determinar las formas cuadráticas asociadas a las formas bilineales:
    $$f_1(x,y)=\begin{pmatrix}x_1,\;x_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{2}&{4 }\\{-1 }&{7}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\{y_2}\end{pmatrix}.$$ $$f_2(x,y)=\begin{pmatrix}x_1,\;x_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{2}&{-3 }\\{6 }&{7}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\{y_2}\end{pmatrix}.$$ $$f_3(x,y)=\begin{pmatrix}x_1,\;x_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{2}&{3/2 }\\{3/2 }&{7}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\{y_2}\end{pmatrix}.$$
  2. Se considera la forma cuadrática $q:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}:$ $$q(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+7x_2^2-x_3^2+8x_1x_2+5x_1x_3-4x_2x_3.$$ Expresarla mediante una matriz simétrica y mediante un par de ellas que no lo sean.
  3. Sea $q$ la forma cuadrática asociada a una forma bilineal $f$ en un espacio vectorial $E.$ Demostrar que para toda terna de vectores $x,y,z\in E$ se verifica: $$q(x+y+z)=q(x+y)+q(x+z)+q(y+z)-q(x)-q(y)-q(z).$$
  4. Sea $q:E\to \mathbb{K}$ una forma cuadrática. Demostrar la identidad $$q(x+y)+q(x-y)=2\left(q(x)+q(y)\right)\quad \forall x,y\in E.$$
  5. Sea $q:E\to \mathbb{K}$ una forma cuadrática. Demostrar que:
    $(a)\;\; q(0)=0.$
    $(b)\;\;q(\lambda x)=\lambda^2q(x)\quad \forall \lambda\in\mathbb{K},\;\forall x\in E.$
    Solución
  1. Desarrollando las formas bilineales dadas: $$\begin{aligned}&f_1(x,y)=2x_1y_1+4x_1y_2-x_2y_1+7x_2y_2,\\
    &f_2(x,y)=2x_1y_1-3x_1y_2+6x_2y_1+7x_2y_2,\\
    &f_3(x,y)=2x_1y_1+(3/2)x_1y_2+(3/2)x_2y_1+7x_2y_2.\end{aligned}$$ Igualando $x=y,$ es decir $(x_1,x_2)=(y_1,y_2)$ y simplificando términos semejantes, determinamos las correspondientes formas cuadráticas: $$\begin{aligned}&q_1(x)=f_1(x,x)=2x_1^2+3x_1x_2+7x_2^2,\\
    &q_2(x)=f_2(x,x)=2x_1^2+3x_1x_2+7x_2^2,\\
    &q_3(x)=f_3(x,x)=2x_1^2+3x_1x_2+7x_2^2.\end{aligned}$$ Observación. Nótese que en los tres casos hemos obtenido la misma forma cuadrática $q$. Es decir, una forma cuadrática procede de más de una forma bilneal $f$. Las dos primeras no son simétricas y la tercera, sí lo es.
  2. Mediante una matriz simétrica, la expresión de $q$ es necesariamente: $$q(x_1,x_2,x_3)=\begin{pmatrix}x_1,x_2,x_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{1}&{4 }&5/2\\{4 }&{7}&-2\\5/2&-2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\{x_2}\\x_3\end{pmatrix}.$$ Tenemos infinitas opciones de expresar $q$ mediante una matriz no simétrica. Dos de ellas son por ejemplo:$$q(x_1,x_2,x_3)=\begin{pmatrix}x_1,x_2,x_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{1}&{8 }&1\\{0 }&{7}&-1\\4&-3&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\{x_2}\\x_3\end{pmatrix},$$ $$q(x_1,x_2,x_3)=\begin{pmatrix}x_1,x_2,x_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{1}&{6 }&0\\{2 }&{7}&-4\\5&0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\{x_2}\\x_3\end{pmatrix}.$$
  3. Desarrollando el primer miembro y aplicando la bilinealidad de $f:$ $$q(x+y+z)=f(x+y+z,x+y+z)=f(x,x)+f(y,x)+f(z,x)$$ $$+f(x,y)+f(y,y)+f(z,y)+f(x,z)+f(y,z)+f(z,z).\quad (1)$$ Desarrollando el segundo miembro y aplicando la bilinealidad de $f:$ $$q(x+y)+q(x+z)+q(y+z)-q(x)-q(y)-q(z)$$ $$=f(x,+y,x+y)+f(x+z,x+z)+f(y+z,y+z)-f(x,x)$$ $$-f(y,y)-f(z,z)=f(x,x)+f(y,x)+f(x,y)+f(y,y)+f(x,x)$$ $$+f(z,x)+f(x,z)+f(z,z)+f(y,y)+f(z,y)+f(y,z)+f(z,z)$$ $$-f(x,x)-f(y,y)-f(z,z).\quad (2)$$ La expresión $(1)$ es idéntica a la $(2).$
  4. Sea $f$ una forma bilineal tal que $q(v)=f(v,v)$ para todo $v\in E.$ Entonces, $$q(x+y)+q(x-y)=f(x+y,x+y)+f(x-y,x-y)$$ $$=f(x,x)+f(y,x)+f(x,y)+f(y,y)$$$$+f(x,x)-f(y,x)-f(x,y)+f(y,y)$$ $$=
    2f(x,x)+2f(y,y)=2q(x)+2q(y).$$
  5. Sea $f$ una forma bilineal tal que $q(v)=f(v,v)$ para todo $v\in E.$ Entonces,
    $(a)\;$ $q(0)=f(0,0)=f(0,x-x)=f(0,x)-f(0,x)=0.$
    $(b)\;$ $q(\lambda x)=f(\lambda x,\lambda x)=\lambda f(x,\lambda x)=\lambda^2 f(x,x)=\lambda^2q(x).$
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