Diagonalización de formas cuadráticas por transformaciones elementales

Proporcionamos ejercicios sobre diagonalización de formas cuadráticas por transformaciones elementales.

RESUMEN TEÓRICO
    Analicemos como podemos obtener la diagonalización de formas cuadráticas por el método de las transformaciones elementales por filas y columnas.
  • Sea $E$ espacio vectorial de dimensión finita $n$ sobre un cuerpo $\mathbb{K}$ de característica distinta de 2 y $q:E\to\mathbb{K}$ una forma cuadrática.
    Dado que $q$ procede de una forma bilineal simétrica y toda forma bilineal simétrica es diagonalizable, deducimos que toda forma cuadrática es diagonalizable. En otras palabras, si la expresión de $q$ en una determinada base $B$ es $q(x)=X^TAX$ con $A$ simétrica, entonces efectuando transformaciones elementales por filas y columnas obtenemos una matriz $P$ invertible tal que $$P^TAP=D=\begin{bmatrix} d_1 & 0 & \ldots & 0\\ 0 & d_2 & \ldots & 0 \\ \vdots&&&\vdots \\ 0 & 0 &\ldots & d_n\end{bmatrix}.$$ Con el cambio coordenadas $X=PX’$ obtenemos: $$\begin{aligned}q(x)&=\left(PX’\right)^TAPX’=X’^TP^TAPX’=X’^TDX’\\
    &=d_1x_1’^2+d_2x_2’^2+\cdots+d_nx_n’^2.\end{aligned}$$ Tenemos así diagonalizada la forma cuadrática y expresada en suma de cuadrados independientes.
    Enunciado
  1. Se considera la forma cuadrática $q:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$ cuya expresión en una determinada base $B$ es: $$q(x)=x_1^2+5x_2^2+8x_3^2+4x_1x_2-6x_1x_3-8x_2x_3.$$ Diagonalizarla y como aplicación descomponerla en suma de cuadrados independientes.
  2. Se considera la forma cuadrática $q:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ cuya expresión en una determinada base $B$ es $q(x)=2x_1x_2.$ Diagonalizarla y como aplicación descomponerla en suma de cuadrados independientes.
    Solución
  1. La expresión matricial de $q$ por medio de una matriz simétrica es: $$q(x)=\begin{pmatrix}x_1,\;x_2,\;x_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 & -3 \\
    2 & 5 & -4 \\
    -3 & -4 & 8
    \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\{x_2}\\x_3\end{pmatrix}.$$ Aplicando el método de las transformaciones elementales por filas y columnas: $$\left[\begin{array}{ccc|ccc}
    1 & 2 & -3 & 1 & 0 & 0 \\
    2 & 5 & -4 & 0 & 1 & 0 \\
    -3 & -4 & 8 & 0 & 0 & 1
    \end{array}\right]\begin{matrix}{F_2-2F_1}\\{F_3+3F_1}\end{matrix}\sim
    \left[\begin{array}{ccc|ccc}
    1 & 2 & -3 & 1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 2 & -2 & 1 & 0 \\
    0 & 2 & -1 & 3 & 0 & 1
    \end{array}\right]$$ $$\begin{matrix}{C_2-2C_1}\\{C_3+3C_1}\end{matrix}\sim
    \left[\begin{array}{ccc|ccc}
    1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 2 & -2 & 1 & 0 \\
    0 & 2 & -1 & 3 & 0 & 1
    \end{array}\right]\begin{matrix}{F_3-2F_2}\end{matrix}\sim $$ $$\left[\begin{array}{ccc|ccc}
    1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 2 & -2 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & -5 & 7 & -2 & 1
    \end{array}\right]\begin{matrix}{C_3-2C_2}\end{matrix}\sim$$ $$
    \left[\begin{array}{ccc|ccc}
    1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 & -2 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & -5 & 7 & -2 & 1
    \end{array}\right].$$ Es decir, una matriz diagonal $D$ que representa a la forma cuadrática y la traspuesta de la matriz $P$ del cambio de la base $B$ a la de vectores conjugados $B’$ son: $$D=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\
    0 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & -5\end{bmatrix},\quad P^T=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\
    -2 & 1 & 0 \\
    7 & -2 & 1\end{bmatrix}.$$ La expresión de $q$ en coordenadas en la base $B’$ es por tanto: $$q(x)=\begin{pmatrix}x_1′,\;x_2′,\;x_3’\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & -5
    \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1’\\{x_2′}\\x_3’\end{pmatrix}=x_1’^2+x_2’^2-5x_3’^2.$$ Expresemos ahora $q(x)$ como suma de cuadrados independientes en función de las coordenadas originales. Tenemos $$X=PX’\Leftrightarrow \begin{bmatrix}x_1\\{x_2}\\x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & -2 & 7\\
    0 & 1 & -2 \\
    0 & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1’\\{x_2′}\\x_3’\end{bmatrix}$$ $$\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} x_1′-2x_2’+7x_3’=x_1 \\x_2′-2x_3’=x_2\\ x_3’=x_3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} x_1’= x_1+2x_2-3x_3\\x_2’=x_2+2x_3\\ x_3’=x_3.\end{matrix}\right.$$ Por tanto, $$q(x)=(x_1+2x_2-3x_3)^2+(x_2+2x_3)^2-5x_3^2.$$
  2. La expresión matricial de $q$ por medio de una matriz simétrica es: $$q(x)=\begin{pmatrix}x_1,\;x_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1 \\
    1 & 0
    \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\{x_2}\end{pmatrix}.$$ Aplicando el método de las transformaciones elementales por filas y columnas: $$\left[\begin{array}{cc|cc}
    0 & 1 & 1 & 0 \\
    1 & 0 & 0 & 1
    \end{array}\right]\begin{matrix}\sim\\F_1+F_2\end{matrix}\left[\begin{array}{cc|cc}
    1 & 1 & 1 & 1 \\
    1 & 0 & 0 & 1
    \end{array}\right]\begin{matrix}\sim\\C_1+C_2\end{matrix}$$ $$\left[\begin{array}{cc|cc}
    2 & 1 & 1 & 1 \\
    1 & 0 & 0 & 1
    \end{array}\right]\begin{matrix}\sim\\2F_2-F_1\end{matrix}\left[\begin{array}{cc|cc}
    2 & 1 & 1 & 1 \\
    0 & -1 & -1 & 1
    \end{array}\right]$$ $$\begin{matrix}\sim\\2C_2-C_1\end{matrix}\left[\begin{array}{cc|cc}
    2 & 0 & 1 & 1 \\
    0 & -2 & -1 & 1
    \end{array}\right].$$ Es decir, una matriz diagonal $D$ que representa a la forma cuadrática y la traspuesta de la matriz $P$ del cambio de la base $B$ a la de vectores conjugados $B’$ son: $$D=\begin{bmatrix}2& 0 \\
    0 & -2 \end{bmatrix},\quad P^T=\begin{bmatrix}1 & 1 \\
    -1 & 1 \end{bmatrix}.$$ La expresión de $q$ en coordenadas en la base $B’$ es por tanto: $$q(x)=\begin{pmatrix}x_1′,\;x_2’\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 0 \\
    0 & -2
    \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1’\\{x_2′}\end{pmatrix}=2x_1’^2-2x_2’^2.$$ Expresemos ahora $q(x)$ como suma de cuadrados independientes en función de las coordenadas originales. Tenemos $$X=PX’\Leftrightarrow \begin{bmatrix}x_1\\{x_2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & -1\\
    1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1’\\{x_2′}\end{bmatrix}$$ $$\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} x_1′-x_2’=x_1 \\x_1’+x_2’=x_2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} x_1’= \frac{1}{2}\left(x_1+x_2\right)\\x_2’=\frac{1}{2}\left(x_2-x_1\right).\end{matrix}\right.$$ Por tanto, $$q(x)=\frac{1}{2}(x_1+x_2)^2-\frac{1}{2}(x_1-x_2)^2.$$
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