Forma polar de una forma cuadrática

Proporcionamos ejercicios sobre la forma polar de una forma cuadrática.

RESUMEN TEÓRICO
  • Sea $E$ espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}.$ Por definición, la aplicación $q:E\to \mathbb{K}$ es forma cuadrática si existe una forma bilineal  $f:E\times E\to\mathbb{K}$ tal que $q(u)=f(u,u)$ para todo $u\in E.$
  • Supongamos que $\text{carac }\mathbb{K}\neq 2,$ es decir $1+1\neq 0.$ Entonces, sabemos que la forma bilineal  $f$ se descompone en suma de una forma bilineal simétrica  $f_s$ y otra antisimétrica  $f_a,$ siendo:$$\begin{aligned}&f_s(x,y)=\frac{1}{2}\left(f(x,y)+f(y,x)\right),\\
    &f_a(x,y)=\frac{1}{2}\left(f(x,y)-f(y,x)\right).\end{aligned}$$ En consecuencia, $$f_s(x,x)=\frac{1}{2}\left(f(x,x)+f(x,x)\right)=f(x,x)=q(x)\quad \forall x\in E.$$ Podemos concluir en el siguiente teorema.
  • Teorema.  En todo espacio vectorial sobre un cuerpo de característica distinta de 2, toda forma cuadrática procede de una forma bilneal simétrica.
  • Definición.  A la forma bilineal simétrica de la cual procede una forma cuadrática $q,$ se la llama forma polar de $q.$
  • Teorema  (Expresión de la forma polar).  Sea $q:E\to \mathbb{K}$ una forma cuadrática con $\text{carac }\mathbb{K}\neq 2.$ Entonces, la forma polar de $q$ es $$\frac{1}{2}\left(q(x+y)-q(x)-q(y)\right).$$ Esto implica además que la forma polar es única, pues depende exclusivamente de $q.$
    Enunciado
  1. Sea $q:E\to \mathbb{K}$ una forma cuadrática con $\text{carac }\mathbb{K}\neq 2.$ Demostrar que la forma polar de $q$ es $$\frac{1}{2}\left(q(x+y)-q(x)-q(y)\right).$$
  2. Se considera la forma cuadrática $q:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}:$ $$q(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+7x_2^2-x_3^2+8x_1x_2+5x_1x_3-4x_2x_3.$$ Determinar la forma polar de $q.$
    Solución
  1. Si $f$ es forma polar de $q,$ entonces $f$ es una forma bilineal simétrica que satisface $q(u)=f(u,u)$ para todo $u\in E.$ Tenemos, $$\frac{1}{2}\left(q(x+y)-q(x)-q(y)\right)$$ $$=\frac{1}{2}\left(f(x+y,x+y)-f(x,x)-f(y,y)\right)$$ $$=\frac{1}{2}\left(f(x,x)+f(y,x)+f(x,y)+f(y,y)-f(x,x)-f(y,y)\right)$$ $$=\frac{1}{2}\left(f(y,x)+f(x,y)\right)=\frac{1}{2}\left(2\;f(x,y)\right)=f(x,y).$$
  2. Por supuesto que podríamos aplicar la fórmula $$\frac{1}{2}\left(q(x+y)-q(x)-q(y)\right)$$ para hallar la forma polar de $q,$ ahora bien, podemos escribir $$q(x)=X^TAX=\begin{pmatrix}x_1,x_2,x_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{1}&{4 }&5/2\\{4 }&{7}&-2\\5/2&-2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\{x_2}\\x_3\end{pmatrix},$$ siendo $A$ matriz simétrica. En consecuencia la forma polar de $q$ es: $$f(x,y)=X^TAY=\begin{pmatrix}x_1,x_2,x_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{1}&{4 }&5/2\\{4 }&{7}&-2\\5/2&-2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\{y_2}\\y_3\end{pmatrix}.$$
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