Ley de inercia de Sylvester

Publicada el julio 24, 2014 por Fernando Revilla

Proporcionamos ejercicios sobre la Ley de inercia de Sylvester.

RESUMEN TEÓRICO
  • Consideremos ahora formas cuadráticas sobre el cuerpo de los reales  $q;E\to\mathbb{R},$ con $E$ espacio vectorial de dimensión finita  $n$ y sea  $D$ una matriz diagonal que representa a  $q$ respecto de una base $B=\{e_1,\ldots,e_n\}$ de vectores conjugados.
    Permutando adecuadamente los vectores de $B,$ podemos suponer que $D$ es de la forma: $$D=\text{diag }\left(q\left(e_1\right),\ldots,q\left(e_p\right),q\left(e_{p+1}\right),\ldots,q\left(e_r\right),q\left(e_{r+1}\right),\ldots,q\left(e_n\right)\right)$$ siendo positivos los números $q\left(e_1\right),\ldots,q\left(e_p\right)$ positivos, los $q\left(e_{p+1}\right),\ldots,q\left(e_r\right)$ negativos, y nulos los $q\left(e_{r+1}\right),\ldots,q\left(e_n\right).$ Es decir, $D$ tiene la forma: $$D=\text{diag }(+,\ldots,+,-,\ldots,-,0,\ldots,0).$$ Multiplicando cada vector $e_i$ desde $i=1$ hasta $p$ por $1/\sqrt{q\left(e_i\right)}$ y cada vector $e_j$ desde $j=p+1$ hasta $r$ por $1/\sqrt{-q\left(e_j\right)}$ obtenemos$$q\left(\frac{1}{\sqrt{q\left(e_i\right)}}e_i\right)=\left(\frac{1}{\sqrt{q\left(e_i\right)}}\right)^2q(e_i)=1,$$ $$q\left(\frac{1}{\sqrt{-q\left(e_j\right)}}e_j\right)=\left(\frac{1}{\sqrt{-q\left(e_j\right)}}\right)^2q(e_j)=-1.$$ Es decir, podemos construir una base de $E$ con respecto de la cual la matriz de $q$ es de la forma $$D=\text{diag }(1\ldots,1,-1,\ldots,-1,0,\ldots,0).$$
  • Teorema  (Ley de inercia de Sylvester).  Todas las matrices diagonales que representan a una forma cuadrática tienen en la diagonal principal el mismo número de términos positivos, el mismo de términos negativos y el mismo de términos nulos.
  • Definición.  Se llama signatura de una forma cuadrática $q:E\to\mathbb{R}$ en un espacio vectorial $E$ real de dimensión finita, al par $(p,s)$ siendo $p$ el número de términos positivos y $s$ el número de términos negativos de cualquier matriz diagonal asociada a $q.$
    Enunciado
  1. Se considera la forma cuadrática $q:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$ cuya expresión en la base canónica $B$ de $\mathbb{R}^3$ es: $$q(x)=x_1^2+5x_2^2+8x_3^2+4x_1x_2-6x_1x_3-8x_2x_3.$$ Determinar una base de $\mathbb{R}^3$ respecto de la cual la matriz de $q$ sea diagonal con a lo sumo unos, menos unos y ceros en la diagonal principal.
  2. Determinar la signatura de la forma cuadrática del ejercicio anterior.
    Solución
  1. La expresión matricial de $q$ por medio de una matriz simétrica es: $$q(x)=\begin{pmatrix}x_1,\;x_2,\;x_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 & -3 \\
    2 & 5 & -4 \\
    -3 & -4 & 8
    \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\{x_2}\\x_3\end{pmatrix}.$$ Aplicando el método de las transformaciones elementales por filas y columnas: $$\left[\begin{array}{ccc|ccc}
    1 & 2 & -3 & 1 & 0 & 0 \\
    2 & 5 & -4 & 0 & 1 & 0 \\
    -3 & -4 & 8 & 0 & 0 & 1
    \end{array}\right]\begin{matrix}{F_2-2F_1}\\{F_3+3F_1}\end{matrix}\sim
    \left[\begin{array}{ccc|ccc}
    1 & 2 & -3 & 1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 2 & -2 & 1 & 0 \\
    0 & 2 & -1 & 3 & 0 & 1
    \end{array}\right]$$ $$\begin{matrix}{C_2-2C_1}\\{C_3+3C_1}\end{matrix}\sim
    \left[\begin{array}{ccc|ccc}
    1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 2 & -2 & 1 & 0 \\
    0 & 2 & -1 & 3 & 0 & 1
    \end{array}\right]\begin{matrix}{F_3-2F_2}\end{matrix}\sim $$ $$\left[\begin{array}{ccc|ccc}
    1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 2 & -2 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & -5 & 7 & -2 & 1
    \end{array}\right]\begin{matrix}{C_3-2C_2}\end{matrix}\sim$$ $$
    \left[\begin{array}{ccc|ccc}
    1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 & -2 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & -5 & 7 & -2 & 1
    \end{array}\right]\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{5}}{F_3}\end{matrix}\sim$$ $$\left[\begin{array}{ccc|ccc}
    1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 & -2 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & -5/\sqrt{5} & 7/\sqrt{5} & -2 /\sqrt{5}& 1/\sqrt{5}
    \end{array}\right]\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{5}}{C_3}\end{matrix}\sim$$ $$\left[\begin{array}{ccc|ccc}
    1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 & -2 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & -1 & 7/\sqrt{5} & -2 /\sqrt{5}& 1/\sqrt{5}
    \end{array}\right].$$ Es decir, una matriz diagonal $D$ que representa a la forma cuadrática y la traspuesta de la matriz $P$ del cambio de la base $B$ a la de vectores conjugados $B’$ son: $$D=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\
    0 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & -1\end{bmatrix},\quad P^T=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\
    -2 & 1 & 0 \\
    7 /\sqrt{5}& -2/\sqrt{5} & 1/\sqrt{5}\end{bmatrix}.$$ La expresión de $q$ en coordenadas en la base $$B’=\left\{(1,0,0), (-2 , 1 , 0),( 7/\sqrt{5} , -2 /\sqrt{5}, 1/\sqrt{5})\right\}$$ es por tanto: $$q(x)=\begin{pmatrix}x_1′,\;x_2′,\;x_3’\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & -1
    \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1’\\{x_2′}\\x_3’\end{pmatrix}=x_1’^2+x_2’^2-x_3’^2.$$
  2. Una matriz diagonal que representa a $q$ es $D=\text{diag }(1,1,-1)$ en consecuencia la signatura de $q$ es $(2,1).$
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