Propiedades de la integral definida

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Calcular la integral de la función $f(x)=\sqrt{32+4x-x^2}$ en el intervalo en donde esta función está definida.
  2. Calcular $\displaystyle\int_1^e\frac{\log^2x}{x}dx$ mediante la sustitución $t=\log x.$
  3. Ordenar, sin calcularlas, las siguientes integrales $$I_1=\int_0^1\sqrt{1+x^2}dx,\quad I_2=\int_0^1x\;dx.$$
  4. Calcular $I=\displaystyle\int_0^1\left(\left|x\right|+\left|3x-1\right|\right)dx.$
  5. Acotar las siguientes integrales $$a)\;\int_0^1\sqrt{4+x^2}dx.\quad b)\;\int_{-1}^1\frac{dx}{8+x^3}.\quad c)\;\int_0^{2\pi}\frac{dx}{10+3\cos x}.$$
  6. Calcular $f’(\pi/2)$ siendo $$f(x)=\int_{\cos x}^{\operatorname{sen}x}\frac{dt}{1+7t+5t^2}.$$
  7. Deducir la fórmula del área de un círculo.
    Solución
  1. Factorizando obtenemos $32+4x-x^2=(8-x)(x+4)$ que toma valores $\geq 0$ en el intervalo $[-4,8].$ Tenemos pues que calcular $$I=\int_{-4}^8\sqrt{32+4x-x^2}dx.$$ Podemos calcular $I$ hallando previamente la integral indefinida, sin embargo usaremos en su lugar una elegante interpretación geométrica. Elevando al cuadrado $y=f(x)$ obtenemos
    $$y^2=32+4x-x^2,\text{ o bien }(x-2)^2+y^2=36.$$ que representa una circunferencia de centro el punto $(2,0)$ y radio $6.$ La circunferencia corta al eje $OX$ en los puntos $(-4,0)$ y $(8,0),$ luego $I$ es el área del semicírculo superior limitado por la circunferencia. Es decir, $$I=\frac{1}{2}\pi\cdot 6^2=18\pi.$$
  2. Si $x=1,$ $t=\log x=0$ y si $x=e,$ $t=\log x=1.$ Por otra parte $dt=dx/x.$ en consecuencia: $$\displaystyle\int_1^e\frac{\log^2x}{x}dx=\int_0^1t^2dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac{1}{3}.$$
  3. Tenemos $$x\in [0,1]\Rightarrow x^2\leq1+x^2\Rightarrow x\leq \sqrt{1+x^2}$$ $$\Rightarrow I_2=\int_0^1x\;dx\leq \int_0^1\sqrt{1+x^2}dx=I_1, $$ es decir $I_2\leq I_1.$
  4. Tenemos $3x-1=3(x-1/3),$ con lo cual $3x-1\leq 0$ si $x\leq 1/3$ y $3x-1\geq 0$ si $x\geq 1/3.$ Entonces,$$\left|x\right|+\left|3x-1\right|=\left \{ \begin{matrix} x-3x+1=-2x+1&\mbox{ si }x\in[0,1/3]\\x+3x-1=4x-1 & \mbox{ si }x\in [1/3,1].\end{matrix}\right.$$ Por tanto, $$I=\int_0^{1/3}(-2x+1)\;dx+\int_{1/3}^{1}(4x-1)\;dx$$ $$=\left[-x^2+x\right]_0^{1/3}+\left[2x^2-x\right]_{1/3}^{1}=\ldots=\frac{4}{3}.$$
  5. Llamemos $I_1,I_2,I_3$ a las integrales de los apartados $a),$ $b)$ y $c)$ respectivamente.
    $\begin{aligned} a)\quad&x\in [0,1]\Rightarrow \sqrt{4}\leq\sqrt{4+x^2}\leq \sqrt{5}\\&\Rightarrow2(1-0)\leq \int_0^1\sqrt{4+x^2}dx\leq \sqrt{5}(1-0)\Rightarrow I_1\in[2\sqrt{5}].\end{aligned}$
    $\begin{aligned}b)\quad & x\in [0,1]\Rightarrow 7\leq 8+x^3\leq 9\Rightarrow \frac{1}{9}\leq \frac{1}{8+x^3}\leq \frac{1}{8}\\&\Rightarrow\frac{1}{9}\left((1-(-1)\right)\leq \int_{-1}^1\frac{dx}{8+x^3}\leq \frac{1}{7}\left((1-(-1)\right)\Rightarrow I_2\in[2/9,2/7].\end{aligned}$
    $\begin{aligned} c)\quad&x\in [0,2\pi]\Rightarrow -1\leq\cos x\leq 1\Rightarrow 7\leq10+3\cos x\leq 13\\&\Rightarrow \frac{1}{13}\leq \frac{1}{10+3\cos x}\leq \frac{1}{7}\Rightarrow \frac{1}{13}(2\pi-0)\leq\int_0^{2\pi}\frac{dx}{10+3\cos x}\leq \frac{1}{7}(2\pi-0)\\&\Rightarrow I_3\in[2\pi/13,2\pi/7].\end{aligned}$
  6. Usando el teorema fundamental del Cálculo: $$f’(x)=\frac{1}{1+7\operatorname{sen}x+5\operatorname{sen}^2x}\cdot\cos x$$ $$-\frac{1}{1+7\operatorname{sen}x+5\operatorname{sen}^2x}\cdot(-\operatorname{sen}x).$$ Por tanto, $f’(\pi/2)=\dfrac{0}{13}+\dfrac{1}{1}=1. $
  7. Consideremos el círculo de centro el origen y radio $r.$ La circunferencia que lo delimita tiene por ecuación $x^2+y^2=r^2.$ Por razones de simetría, el área $A$ del círculo será cuatro veces el área correspondiente al primer cuadrante. Es decir: $$A=4\int_0^r\sqrt{r^2-x^2}\;dx.$$ Efectuando la sustiución $x=r\operatorname{sen}t:$ $$A=4\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sqrt{r^2-r^2\operatorname{sen}^2t}\;r\cos t\;dt=4r^2\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sqrt{1-\operatorname{sen}^2t}\;\cos t\;dt$$ $$=4r^2\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^2 t\;dt=4r^2\displaystyle\int_0^{\pi/2}\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cos 2t\right)dt$$ $$=4r^2\left[\dfrac{t}{2}+\dfrac{\operatorname{sen}2t}{4}\right]_0^{\pi/2}=4r^2\cdot\frac{\pi}{4}=\pi r^2.$$
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