Cotas de la longitud de una elipse

Enunciado
El objeto de este problema es encontrar cotas de la longitud de una elipse.

1.  Demostrar que el cálculo de la longitud de una elipse se reduce al cálculo de la integral $$\int_0^{\pi/2}\sqrt{1+k^2\text{sen}^2\theta}\;d\theta.$$ 2.  Verificar que la integral del apartado anterior coincide con la integral $$\int_0^{\pi/4}\left(\sqrt{1+k^2\operatorname{sen}^2\theta}+\sqrt{1+k^2\cos^2\theta}\right)d\theta.$$ 3.  Determinar los extremos de la función integrando de la integral del apartado anterior en el intervalo de integración.

4.  Aplicar a demostrar que si $L$ es la longitud de la elipse  $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1,$ se tiene $$a+b<\frac{L}{\pi}<(a+b)\sqrt{1+\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2}.$$

(Propuesto en examen de Cálculo, ETS de Ingenieros Industriales de la UPM).

Solución
1.  Consideremos la elipse $$E:\left \{ \begin{matrix} x=a\cos \theta\\y=b\operatorname{ sen }\theta\end{matrix}\right.\;,\quad\theta\in[0,2\pi],\quad a>b>0.$$ Su longitud es $$L=4\int_0^{\pi/2}\sqrt{x’(\theta)^2+y’(\theta)^2}\;d\theta=4\int_0^{\pi/2}\sqrt{a^2\operatorname{sen}^2\theta+b^2\cos^2\theta}\;d\theta=$$ $$4\int_0^{\pi/2}\sqrt{a^2\operatorname{sen}^2\theta+b^2(1-\operatorname{sen}^2\theta)}\;d\theta=4\int_0^{\pi/2}\sqrt{b^2+(a^2-b^2)\operatorname{sen}^2\theta}\;d\theta$$ $$=4b\int_0^{\pi/2}\sqrt{1+\frac{a^2-b^2}{b^2}\operatorname{sen}^2\theta}\;d\theta=4b\int_0^{\pi/2}\sqrt{1+k^2\operatorname{sen}^2\theta}\;d\theta,$$ siendo $k^2=\dfrac{a^2-b^2}{b^2}>0.$

2.  Consideremos la integral $$I=\int_{\pi/4}^{\pi/2}\sqrt{1+k^2\text{sen}^2\theta}\;d\theta.$$ Efectuando el cambio de variable $\theta=\pi/2-t:$ $$I=-\int_{\pi/4}^{0}\sqrt{1+k^2\cos^2t}\;dt=\int_{0}^{\pi/4}\sqrt{1+k^2\cos^2t}\;dt.$$ Por tanto $$\int_0^{\pi/2}\sqrt{1+k^2\text{sen}^2\theta}\;d\theta=\int_0^{\pi/4}\sqrt{1+k^2\text{sen}^2\theta}\;d\theta+\int_{\pi/4}^{\pi/2}\sqrt{1+k^2\text{sen}^2\theta}\;d\theta$$ $$=\int_0^{\pi/4}\sqrt{1+k^2\text{sen}^2\theta}\;d\theta+\int_{0}^{\pi/4}\sqrt{1+k^2\cos^2\theta}\;d\theta $$ $$=\int_0^{\pi/4}\left(\sqrt{1+k^2\operatorname{sen}^2\theta}+\sqrt{1+k^2\cos^2\theta}\right)d\theta.$$ 3.  Sea la función  $$f:[0,\pi/4]\to\mathbb{R},\quad f(\theta)=\sqrt{1+k^2\operatorname{sen}^2\theta}+\sqrt{1+k^2\cos^2\theta}.$$ Hallemos sus puntos críticos $$f’(\theta)=\frac{k^2\operatorname{sen}\theta\cos\theta}{\sqrt{1+k^2\operatorname{sen}^2\theta}}-\frac{k^2\operatorname{sen}\theta\cos\theta}{\sqrt{1+k^2\cos^2\theta}}=0,$$ $$k^2\operatorname{sen}\theta\cos\theta\left(\sqrt{1+k^2\cos^2\theta}-\sqrt{1+k^2\operatorname{sen}^2\theta}\right)=0.$$ Los puntos críticos de $f$ corresponden a los valores de $\theta$ en $[0,\pi/4]$ tales que:

$a)\;$ $\operatorname{sen}\theta=0.$ Solamente se verifica para $\theta=0.$

$b)\;$  $\cos\theta=0.$ No se verifica en $[0,\pi/4].$

$c)\;$ $\sqrt{1+k^2\cos^2\theta}=\sqrt{1+k^2\operatorname{sen}^2\theta}.$ Elevando al cuadrado queda $\operatorname{sen}^2\theta=\cos^2\theta,$ lo cual implica $\operatorname{sen}\theta=\pm\cos\theta,$ relación que sólo se cumple en $[0,\pi/4]$ para $\theta=\pi/4.$

En $(0,\pi/4),$ $\operatorname{sen}\theta<\cos\theta$ lo cual implica $f’(\theta)>0.$ La función es $f$ es estrictamente creciente, por tanto: $$\begin{aligned}&f(0)=1+\sqrt{1+k^2}\text{ es mínimo absoluto de }f,\\
&f(\pi/4)=2\sqrt{1+\frac{k^2}{2}}\text{ es máximo absoluto de }f.\end{aligned}$$ 4.  La longitud de la elipse es $L=4b\displaystyle\int_0^{\pi/4}f(\theta)\;d\theta.$ Por otra parte, $$1+\sqrt{1+k^2}\leq f(\theta)\leq 2\sqrt{1+\frac{k^2}{2}}\quad \forall x\in[0,\pi/4],$$ y las igualdades sólo se verifican para $\theta=0$ y $\theta=\pi/4$ respectivamente. Por tanto, integrando: $$4b\int_0^{\pi/4}\left(1+\sqrt{1+k^2}\right)d\theta\leq L\leq 4b\int_0^{\pi/4}\left(2\sqrt{1+\frac{k^2}{2}}\right)d\theta$$ $$\Rightarrow \pi b\left(1+\sqrt{1+k^2}\right)\leq L\leq 2\pi b\left(\sqrt{1+\frac{k^2}{2}}\right)$$ $$\Rightarrow b\left(1+\sqrt{1+k^2}\right)\leq \frac{L}{\pi}\leq 2 b\left(\sqrt{1+\frac{k^2}{2}}\right)$$ Teniendo en cuenta que $k^2=(a^2-b^2)/b^2:$ $$b\left(1+\sqrt{1+k^2}\right)=b\left(1+\sqrt{1+\frac{a^2-b^2}{b^2}}\right)$$ $$=b\left(1+\sqrt{\frac{a^2}{b^2}}\right)=b\left(1+\frac{a}{b}\right)=b\cdot\frac{a+b}{b}=a+b.$$ Por otra parte, $$2 b\sqrt{1+\frac{k^2}{2}}=2b\sqrt{1+\frac{a^2-b^2}{2b^2}}=\sqrt{4b^2+2(a^2-b^2)}$$ $$=\sqrt{2a^2-2b^2}=\sqrt{(a+b)^2+(a-b)^2}$$ $$=\sqrt{(a+b)^2\left(1+\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2\right)}=(a+b)\sqrt{1+\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2}.$$ En consecuencia $$a+b<\frac{L}{\pi}<(a+b)\sqrt{1+\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2}.$$

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