Funciones trigonométricas complejas

TEORÍA

1  Demostrar que las funciones seno y coseno complejos son una generalización de las correspondientes seno y coseno reales.

SOLUCIÓN

2  Demostrar las relaciones $$\begin{aligned}&\operatorname{sen}^2z+\cos^2z=1,\\& 1+\tan^2z=\sec^2z,\\&1+\cot^2z=\csc^2z.\end{aligned}$$

SOLUCIÓN

3  Demostrar las relaciones $$\operatorname{sen}(-z)=-\operatorname{sen}z,\quad \cos (-z)=\cos z,\quad \tan (-z)=-\tan z.$$

SOLUCIÓN

4  Demostrar las relaciones $$\begin{aligned}&a)\;\;\operatorname{sen}(z_1\pm z_2)=\operatorname{sen}z_1\cos z_2\pm \cos z_1\operatorname{sen}z_2,\\
&b)\;\;\cos(z_1\pm z_2)=\cos z_1\cos z_2\mp \operatorname{sen} z_1\operatorname{sen}z_2,\\
&c)\;\;\tan (z_1\pm z_2)=\frac{\tan z_1\pm\tan z_2}{1\mp \tan z_1\tan z_2}.\end{aligned}$$

SOLUCIÓN

5  $(a)\;$ Determinar las partes real e imaginaria de las funciones $\operatorname{sen}z$ y $\cos z.$
$(b)\;$ Usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann, determinar las derivadas de $\operatorname{sen}z$ y $\cos z.$

SOLUCIÓN

6 Determinar el dominio de la función  $f(z)=\tan z.$

SOLUCIÓN

7  Demostrar que:
$(a)\;\dfrac{d}{dz}(\tan z)= \dfrac{1}{\cos^2 z}.\quad (b)\;\dfrac{d}{dz}(\cot z)=- \dfrac{1}{\operatorname{sen}^2 z}. $

SOLUCIÓN

8 Hallar  $\dfrac{d}{dz}(\csc z)$ y  $\dfrac{d}{dz}(\sec z).$

SOLUCIÓN
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