Funciones trigonométricas complejas

Definimos las funciones trigonométricas complejas, que generalizan a las trigonométricas reales.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Demostrar que las funciones seno y coseno complejos son una generalización de las correspondientes seno y coseno reales.
  2. Demostrar las relaciones $$\begin{aligned}&\operatorname{sen}^2z+\cos^2z=1,\\& 1+\tan^2z=\sec^2z,\\&1+\cot^2z=\csc^2z.\end{aligned}$$
  3. Demostrar las relaciones $$\operatorname{sen}(-z)=-\operatorname{sen}z,\quad \cos (-z)=\cos z,\quad \tan (-z)=-\tan z.$$
  4. Demostrar las relaciones $$\begin{aligned}&a)\;\;\operatorname{sen}(z_1\pm z_2)=\operatorname{sen}z_1\cos z_2\pm \cos z_1\operatorname{sen}z_2,\\
    &b)\;\;\cos(z_1\pm z_2)=\cos z_1\cos z_2\mp \operatorname{sen} z_1\operatorname{sen}z_2,\\
    &c)\;\;\tan (z_1\pm z_2)=\frac{\tan z_1\pm\tan z_2}{1\mp \tan z_1\tan z_2}.\end{aligned}$$
  5. $(a)\;$ Determinar las partes real e imaginaria de las funciones $\operatorname{sen}z$ y $\cos z.$
    $(b)\;$ Usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann, determinar las derivadas de $\operatorname{sen}z$ y $\cos z.$
  6. Determinar el dominio de la función $f(z)=\tan z.$
  7. Demostrar que:
    $(a)\;\dfrac{d}{dz}(\tan z)= \dfrac{1}{\cos^2 z}.\quad (b)\;\dfrac{d}{dz}(\cot z)=- \dfrac{1}{\operatorname{sen}^2 z}. $
  8. Hallar $\dfrac{d}{dz}(\csc z)$ y $\dfrac{d}{dz}(\sec z).$
    Solución
  1. Para $z=x\in\mathbb{R}:$ $$\operatorname{sen} x=\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}=\frac{(\cos x+i\operatorname{sen} x)-(\cos (-x)+i\operatorname{sen} (-x))}{2i}$$ $$=\frac{(\cos x+i\operatorname{sen} x)-(\cos x-i\operatorname{sen} x)}{2i}=\frac{2i\operatorname{sen} x}{2i}=\operatorname{sen} x.$$ $$\cos x=\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}=\frac{(\cos x+i\operatorname{sen} x)+(\cos (-x)+i\operatorname{sen} (-x))}{2}$$ $$=\frac{(\cos x+i\operatorname{sen} x)+(\cos x-i\operatorname{sen} x)}{2}=\frac{2\cos x}{2}=\cos x.$$
  2. Usando las correspondientes definiciones $$\operatorname{sen}^2z+\cos^2z=\left(\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\right)^2+\left(\dfrac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\right)^2$$ $$=\frac{e^{2iz}+e^{-2iz}-2e^0}{-4}+\frac{e^{2iz}+e^{-2iz}+2e^0}{4}=\frac{4}{4}=1.$$Dividiendo la igualdad $\operatorname{sen}^2z+\cos^2z=1$ entre $\cos^2 z:$ $\tan^2z+1=\sec^2z.$
    Dividiéndola entre $\operatorname{sen}^2z:$ $1+\cot^2z=\csc^2z.$
  3. Tenemos: $$\operatorname{sen} (-z)=\dfrac{e^{i(-z)}-e^{-i(-z)}}{2i}=\dfrac{e^{-iz}-e^{iz}}{2i}=-\operatorname{sen}z.$$ $$\cos (-z)=\dfrac{e^{i(-z)}+e^{-i(-z)}}{2}=\dfrac{e^{-iz}+e^{iz}}{2}=\cos z.$$ $$\tan (-z)=\frac{\operatorname{sen} (-z)}{\cos (-z)}=\frac{-\operatorname{sen}z}{\cos z}=-\frac{\operatorname{sen}z}{\cos z}=-\tan z.$$
  4. $a)\;$ Desarrollemos el segundo miembro con el signo $+,$ $$\operatorname{sen}z_1\cos z_2+ \cos z_1\operatorname{sen}z_2$$ $$=\dfrac{e^{iz_1}-e^{-iz_1}}{2i}\cdot \dfrac{e^{iz_2}+e^{-iz_2}}{2}+\dfrac{e^{iz_1}+e^{-iz_1}}{2}\cdot \dfrac{e^{iz_2}-e^{-iz_2}}{2i}$$ $$=\frac{e^{i(z_1+z_2)}-e^{i(z_2-z_1)}+e^{i(z_1-z_2)}-e^{-i(z_1+z_2)}}{4i}$$ $$+\frac{e^{i(z_1+z_2)}+e^{i(z_2-z_1)}-e^{i(z_1-z_2)}-e^{-i(z_1+z_2)}}{4i}$$ $$=\frac{2e^{i(z_1+z_2)}-2e^{-i(z_1+z_2)}}{4i}=\frac{e^{i(z_1+z_2)}-e^{-i(z_1+z_2)}}{2i}=\operatorname{sen}(z_1+ z_2).$$ Análogo razonamiento con el otro signo.
    $b)\;$ Se razona de manera análoga a la del apartado anterior.
    $c)\;$ Tenemos $$\tan (z_1+ z_2)=\frac{\operatorname{sen}(z_1+ z_2)}{\cos(z_1+z_2)}=\frac{\operatorname{sen}z_1\cos z_2+ \cos z_1\operatorname{sen}z_2}{\cos z_1\cos z_2- \operatorname{sen} z_1\operatorname{sen}z_2}.$$ Dividiendo numerador y denominador de la última fracción entre $\cos z_1\cos z_2:$ $$\tan (z_1+ z_2)=\frac{\tan z_1+\tan z_2}{1-\tan z_1\tan z_2}.$$ Análogo razonamiento para el otro signo.
  5. $(a)\;$ Para la función seno $$\operatorname{sen}z=\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=\dfrac{e^{i(x+iy)}-e^{-i(x+iy)}}{2i}=\dfrac{e^{-y+ix}-e^{y-ix}}{2i}$$ $$=\frac{e^{-y}(\cos x+i\operatorname{sen}x)-e^y(\cos x-i\operatorname{sen}x)}{2i}$$ $$=\frac{1}{i}\cdot\dfrac{\cos x\;(e^{-y}-e^y)+i\operatorname{sen}x\;(e^{-y}+e^y)}{2}$$ $$=\frac{1}{i}\left(-\cos x\operatorname{senh}y+i\operatorname{sen}x\operatorname{cosh}y\right)=\operatorname{sen}x\operatorname{cosh}y+i\operatorname{cos}x\operatorname{senh}y$$ $$\Rightarrow u=\operatorname{sen}x\operatorname{cosh}y, \quad v=\operatorname{cos}x\operatorname{senh}y.$$ Para la función coseno $$\operatorname{cos}z=\dfrac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=\dfrac{e^{i(x+iy)}+e^{-i(x+iy)}}{2}=\dfrac{e^{-y+ix}+e^{y-ix}}{2}$$ $$=\frac{e^{-y}(\cos x+i\operatorname{sen}x)+e^y(\cos x-i\operatorname{sen}x)}{2}$$ $$=\dfrac{\cos x\;(e^{-y}+e^y)+i\operatorname{sen}x\;(e^{-y}-e^y)}{2}$$ $$=\cos x\operatorname{cosh}y+i(-\operatorname{sen}x\operatorname{senh}y)$$ $$\Rightarrow U=\cos x\operatorname{cosh}y, \quad V=-\operatorname{sen}x\operatorname{senh}y.$$
    $(b)\;$ Función seno: $$u_x=\cos x\operatorname{cosh}y,\quad u_y=\operatorname{sen}x\operatorname{senh}y, $$ $$v_x=-\operatorname{sen}x\operatorname{senh}y,\quad v_y=\cos x\cosh y. $$ Las parciales son continuas para todo $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, por tanto la función seno es derivable en $\mathbb{C}.$ Su derivada es $$\frac{d}{dz}\operatorname{sen}z=u_x+iv_x=\cos x\operatorname{cosh}y+i(-\operatorname{sen}x\operatorname{senh}y)$$ $$=U+iV=\cos z.$$ Función coseno: $$U_x=- \operatorname{sen}x\operatorname{cosh}y,\quad U_y=\cos x\operatorname{senh}y,$$ $$V_x=-\cos x\operatorname{senh}y,\quad V_y=-\operatorname{sen}x\operatorname{cosh}y.$$ Las parciales son continuas para todo $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, por tanto la función coseno es derivable en $\mathbb{C}.$ Su derivada es $$\frac{d}{dz}\cos z=U_x+iV_x=- \operatorname{sen}x\operatorname{cosh}y+i(-\cos x\operatorname{senh}y)$$ $$=-u+i(-v)=-(u+iv)=-\operatorname{sen} z.$$
  6. Las funciones $\operatorname{sen}z$ y $\cos z$ están definidas para todo $z\in\mathbb{C},$ en consecuencia $\tan z=\operatorname{sen}z/\cos z$ está definida para los valores de $z$ que no anulan a $\cos z.$ Tenemos $$\cos z=0\Leftrightarrow \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=0\Leftrightarrow e^{iz}+\frac{1}{e^{iz}}=0$$ $$\frac{e^{2iz}+1}{e^{iz}}=0 \Leftrightarrow e^{2iz}=-1. $$ Llamando $z=x+iy$ con $x,y$ reales: $$\begin{aligned}&e^{2iz}=-1\Leftrightarrow e^{-2y+2ix}=-1\Leftrightarrow e^{-2y}(\cos 2x +i\sin 2x)=1(\cos \pi+i\sin \pi)\\
    &\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} e^{-2y}=1\\2x=(2k+1)\pi\;(k\in\mathbb{Z})\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} y=0\\x=\frac{\pi}{2}+k\pi\;(k\in\mathbb{Z})\end{matrix}\right.\\
    &\Leftrightarrow z=\frac{\pi}{2}+k\pi\;(k\in\mathbb{Z}).\end{aligned}$$ El dominio de la función tangente es por tanto $$D=\mathbb{C}\setminus \left\{\frac{\pi}{2}+k\pi:k\in\mathbb{Z}\right\}.$$
  7. $(a)$ Por definición de función tangente, $\tan z=\dfrac{\operatorname{sen} z}{\cos z}.$ Usando la fórmula de la derivada de un cociente con $\cos z\neq 0:$ $$\dfrac{d}{dz}\left(\dfrac{\operatorname{sen} z}{\cos z}\right)=\dfrac{\cos z\cos z-(-\operatorname{sen} z)\operatorname{sen} z}{\cos^2 z}=\dfrac{\cos^2 z+\operatorname{sen}^2 z}{\cos^2 z}=\dfrac{1}{\cos^2 z}.$$ $(b)$ Por definición de función cotangente, $\cot z=\dfrac{\cos z}{\operatorname{sen} z}.$ Usando la fórmula de la derivada de un cociente con $\operatorname{sen} z\neq 0:$
    $$\dfrac{d}{dz}\left(\dfrac{\cos z}{\operatorname{sen} z}\right)=\dfrac{-\operatorname{sen} z\operatorname{sen} z-\cos z\cos z}{\operatorname{sen}^2 z}=\dfrac{-\operatorname{sen}^2 z-\cos^2 z}{\operatorname{sen}^2 z}=-\dfrac{1}{\operatorname{sen}^2 z}.$$
  8. Usando las definiciones de las funciones cosecante, secante y la fórmula de la derivada de un cociente:
    $\dfrac{d}{dz}(\csc z)=\dfrac{d}{dz}\left(\dfrac{1}{\operatorname{sen} z}\right)=\dfrac{-\cos z}{\operatorname{sen}^2 z}=-\cot z\csc z.$
    $\dfrac{d}{dz}(\sec z)=\dfrac{d}{dz}\left(\dfrac{1}{\cos z}\right)=\dfrac{\operatorname{sen} z}{\cos^2 z}=\tan z\sec z.$
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