Funciones hiperbólicas complejas

TEORÍA

1  Demostrar las relaciones $$\begin{aligned}&\cosh^2z-\operatorname{senh}^2z=1,\\& 1-\tanh^2z=\operatorname{sech}^2z,\\&\coth^2z-1=\operatorname{csch}^2z.\end{aligned}$$

SOLUCIÓN

2  Demostrar las relaciones $$\operatorname{senh}(-z)=-\operatorname{senh}z,\quad \cosh (-z)=\cos z,\quad \tanh (-z)=-\tanh z.$$

SOLUCIÓN

3  Demostrar las relaciones $$\begin{aligned}&a)\;\;\operatorname{senh}(z_1\pm z_2)=\operatorname{senh}z_1\cosh z_2\pm \cosh z_1\operatorname{senh}z_2,\\
&b)\;\;\cosh(z_1\pm z_2)=\cosh z_1\cosh z_2\pm \operatorname{senh} z_1\operatorname{senh}z_2,\\
&c)\;\;\tanh (z_1\pm z_2)=\frac{\tanh z_1\pm\tanh z_2}{1\pm \tanh z_1\tanh z_2}.\end{aligned}$$

SOLUCIÓN

4  $(a)\;$ Determinar las partes real e imaginaria de las funciones $\operatorname{senh}z$ y $\cosh z.$
$(b)\;$ Usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann, determinar las derivadas de $\operatorname{senh}z$ y $\cosh z.$

SOLUCIÓN

5  Demostrar que  $$\frac{d}{dz}\tanh z =\operatorname{sech}^2 z,\quad \dfrac{d}{dz}\coth z=-\operatorname{csch}^2 z.$$

SOLUCIÓN

6 Calcular: $(a)\;\dfrac{d}{dz}\operatorname{csch} z.\;(b)\;\dfrac{d}{dz}\operatorname{sech} z. $

SOLUCIÓN
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