Funciones hiperbólicas complejas

Definimos las funciones hiperbólicas complejas, que generalizan a las trigonométricas reales.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Demostrar las relaciones $$\begin{aligned}&\cosh^2z-\operatorname{senh}^2z=1,\\& 1-\tanh^2z=\operatorname{sech}^2z,\\&\coth^2z-1=\operatorname{csch}^2z.\end{aligned}$$
  2. Demostrar las relaciones $$\operatorname{senh}(-z)=-\operatorname{senh}z,\quad \cosh (-z)=\cos z,\quad \tanh (-z)=-\tanh z.$$
  3. Demostrar las relaciones $$\begin{aligned}&a)\;\;\operatorname{senh}(z_1\pm z_2)=\operatorname{senh}z_1\cosh z_2\pm \cosh z_1\operatorname{senh}z_2,\\
    &b)\;\;\cosh(z_1\pm z_2)=\cosh z_1\cosh z_2\pm \operatorname{senh} z_1\operatorname{senh}z_2,\\
    &c)\;\;\tanh (z_1\pm z_2)=\frac{\tanh z_1\pm\tanh z_2}{1\pm \tanh z_1\tanh z_2}.\end{aligned}$$
  4. $(a)\;$ Determinar las partes real e imaginaria de las funciones $\operatorname{senh}z$ y $\cosh z.$
    $(b)\;$ Usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann, determinar las derivadas de $\operatorname{senh}z$ y $\cosh z.$
  5. Demostrar que $$\frac{d}{dz}\tanh z =\operatorname{sech}^2 z,\quad \dfrac{d}{dz}\coth z=-\operatorname{csch}^2 z.$$
  6. Calcular: $(a)\;\dfrac{d}{dz}\operatorname{csch} z.\;(b)\;\dfrac{d}{dz}\operatorname{sech} z. $
    Solución
  1. Usando las correspondientes definiciones $$\cosh^2z-\operatorname{senh}^2z=\left(\frac{e^z+e^{-z}}{2}\right)^2-\left(\frac{e^z-e^{-z}}{2}\right)^2$$ $$=\frac{e^{2z}+e^{-2z}+2e^0}{4}-\frac{e^{2z}+e^{-2z}-2e^0}{4}=\frac{4}{4}=1.$$ Dividiendo la igualdad anterior entre $\cosh^2z,$ $1-\tanh^2z=\operatorname{sech}^2z.$
    Dividiendo ahora entre $\operatorname{senh}^2z,$ $\coth^2z-1=\operatorname{csch}^2z.$
  2. Tenemos: $$\operatorname{senh} (-z)=\dfrac{e^{-z}-e^{-(-z)}}{2}=\dfrac{e^{-z}-e^{z}}{2i}=-\operatorname{senh}z.$$ $$\cosh (-z)=\dfrac{e^{-z}+e^{-(-z)}}{2}=\dfrac{e^{-z}+e^{z}}{2}=\cosh z.$$ $$\tanh (-z)=\frac{\operatorname{senh} (-z)}{\cosh (-z)}=\frac{-\operatorname{senh}z}{\cosh z}=-\frac{\operatorname{senh}z}{\cosh z}=-\tanh z.$$
  3. $a)\;$ Desarrollemos el segundo miembro con el signo $+,$ $$\operatorname{senh}z_1\cosh z_2+ \cosh z_1\operatorname{senh}z_2$$ $$=\dfrac{e^{z_1}-e^{-z_1}}{2}\cdot \dfrac{e^{z_2}+e^{-z_2}}{2}+\dfrac{e^{z_1}+e^{-z_1}}{2}\cdot \dfrac{e^{z_2}-e^{-z_2}}{2}$$ $$=\frac{e^{(z_1+z_2)}-e^{(z_2-z_1)}+e^{(z_1-z_2)}-e^{-(z_1+z_2)}}{4}$$ $$+\frac{e^{(z_1+z_2)}+e^{(z_2-z_1)}-e^{(z_1-z_2)}-e^{-(z_1+z_2)}}{4}$$ $$=\frac{2e^{(z_1+z_2)}-2e^{-(z_1+z_2)}}{4}=\frac{e^{(z_1+z_2)}-e^{-(z_1+z_2)}}{2}=\operatorname{senh}(z_1+ z_2).$$ Análogo razonamiento con el otro signo.
    $b)\;$ Se razona de manera análoga a la del apartado anterior.
    $c)\;$ Tenemos $$\tanh (z_1+ z_2)=\frac{\operatorname{senh}(z_1+ z_2)}{\cosh(z_1+z_2)}=\frac{\operatorname{senh}z_1\cosh z_2+ \cosh z_1\operatorname{senh}z_2}{\cosh z_1\cosh z_2+ \operatorname{senh} z_1\operatorname{senh}z_2}.$$ Dividiendo numerador y denominador de la última fracción entre $\cosh z_1\cosh z_2:$ $$\tanh (z_1+ z_2)=\frac{\tanh z_1+\tanh z_2}{1+\tanh z_1\tanh z_2}.$$ Análogo razonamiento para el otro signo.
  4. $(a)\;$ Para la función seno hiperbólico $$\operatorname{senh}z=\dfrac{e^{z}-e^{-z}}{2}=\dfrac{e^{x+iy}-e^{-x-iy}}{2}$$ $$=\frac{e^{x}(\cos y+i\operatorname{sen}y)-e^{-x}(\cos y-i\operatorname{sen}y)}{2}$$ $$=\dfrac{\cos y\;(e^{x}-e^{-x})+i\operatorname{sen}y\;(e^{x}+e^{-x})}{2}$$ $$=\cos y\operatorname{senh}x+i\operatorname{sen}y\operatorname{cosh}x$$ $$\Rightarrow u=\cos y\operatorname{senh}x, \quad v=\operatorname{sen}y\operatorname{cosh}x.$$ Para la función coseno hiperbólico $$\operatorname{cosh}z=\dfrac{e^{z}+e^{-z}}{2}=\dfrac{e^{x+iy}+e^{-x-iy}}{2}$$ $$=\frac{e^{x}(\cos y+i\operatorname{sen}y)+e^{-x}(\cos y-i\operatorname{sen}y)}{2}$$ $$=\dfrac{\cos y\;(e^{x}+e^{-x})+i\operatorname{sen}y\;(e^{x}-e^{-x})}{2}.$$ $$=\cos y\operatorname{cosh}x+i\operatorname{sen}y\operatorname{senh}x$$ $$\Rightarrow U=\cos y\operatorname{cosh}x, \quad V=\operatorname{sen}y\operatorname{senh}x.$$
    $(b)\;$ Función seno hiperbólico: $$u_x=\cos y\operatorname{cosh}x,\quad u_y=-\operatorname{sen}y\operatorname{senh}x, $$ $$v_x=\operatorname{sen}y\operatorname{senh}x,\quad v_y=\cos y\cosh x. $$ Las parciales son continuas para todo $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, por tanto la función seno hiperbólico es derivable en $\mathbb{C}.$ Su derivada es $$\frac{d}{dz}\operatorname{senh}z=u_x+iv_x=\cos y\operatorname{cosh}x+i\operatorname{sen}y\operatorname{senh}x$$ $$=U+iV=\cosh z.$$ Función coseno hiperbólico: $$U_x=\cos y\operatorname{senh}x,\quad U_y=-\operatorname{sen}y\cosh x,$$ $$V_x=\operatorname{sen}y\cosh x,\quad V_y=\cos y\operatorname{senh}x.$$ Las parciales son continuas para todo $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, por tanto la función coseno hiperbólico es derivable en $\mathbb{C}.$ Su derivada es $$\frac{d}{dz}\cosh z=U_x+iV_x=\cos y\operatorname{senh}x+i\operatorname{sen}y\cosh x$$ $$=u+iv=\operatorname{senh} z.$$
  5. Usando las definiciones de tangente y cotangente hiperbólicas, y la fórmula de la derivada del cociente, $$\dfrac{d}{dz}\tanh z =\dfrac{d}{dz}\left(\dfrac{\operatorname{senh} z}{\cosh z}\right)=\dfrac{\cosh z\cosh z-\operatorname{senh} z \operatorname{senh} x}{\cosh^2 z}$$ $$=\dfrac{\cosh^2 z-\operatorname{senh}^2 z}{\cosh^2 z}=\dfrac{1}{\cosh^2 z}=\operatorname{sech}^2 z.$$ $$\dfrac{d}{dz}\coth z=\dfrac{d}{dz}\left(\dfrac{\cosh z}{\operatorname{senh} z}\right)=\dfrac{\operatorname{senh} z \operatorname{senh} z-\cosh z\cosh z}{\operatorname{senh}^2 z}$$ $$=\dfrac{\operatorname{senh}^2 z-\cosh^2 z}{\operatorname{senh}^2 z}=\dfrac{-1}{\operatorname{senh}^2 z}=-\operatorname{csch}^2 z.$$
  6. $(a)\;$ $\dfrac{d}{dz}\operatorname{csch} z=\dfrac{d}{dz}\left(\dfrac{1}{\operatorname{senh} z}\right)=\dfrac{-\cosh z}{\operatorname{senh}^2 z}=-\coth z \operatorname{csch} z.$
    $(b)\;$ $\dfrac{d}{dz}\operatorname{sech} z=\dfrac{d}{dz}\left(\dfrac{1}{\cosh z}\right)=\dfrac{-\operatorname{senh} z}{\cosh^2 z}=-\tanh z \operatorname{sech} z.$
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