Producto escalar real

TEORÍA

1 Demostrar que $$\left<x,y\right>=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n$$ con $x=(x_1,\ldots,x_n)^T$ e $y=(y_1,\ldots,y_n)^T$ vectores de $\mathbb{R}^n$ es un producto escalar (se le denomina producto escalar usual de $\mathbb{R}^n$).

SOLUCIÓN

2 Sea  $E=\mathcal{C}[a,b]$ el espacio vectorial real de las funciones reales continuas $x(t)$ definidas en el intervalo cerrado $[a,b].$ Demostrar que la siguiente aplicación es un producto escalar en $E$ $$\left<x(t),y(t)\right>=\int_a^bx(t)y(t)\;dt.$$

SOLUCIÓN

3 Determinar los valores de  $a\in\mathbb{R}$ para los cuales es un producto escalar en  $\mathbb{R}^3:$ $$\left<(x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3)\right>=\begin{pmatrix}x_1,x_2,x_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{1}&{-3}&{-1}\\{-3}&{10}&{0}\\{-1}&{0}&{a}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\{y_2}\\{y_3}\end{pmatrix}.$$

SOLUCIÓN

4 Demostrar que $\left<X,Y\right>=\text{traza}\left(X^TY\right)$ es un producto escalar en el espacio vectorial  $E$ de las matrices reales cuadradas de órdenes $n.$

SOLUCIÓN

5 En el espacio vectorial  $\mathbb{R}_2[x]$ se considera el producto escalar $$\left<p(x),q(x)\right>=\int_0^1p(x)q(x)\;dx.$$ $a)\;$ Determinar la matriz de Gram respecto de la base canónica de $\mathbb{R}_2[x].$
$b)\;$ Calcular $\displaystyle\int_0^1(1+x)(3-x^2)\;dx$ usando la matriz de Gram.

SOLUCIÓN
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