Desigualdad de Schwarz, ángulos

Demostramos la desigualdad de Schwarz en los espacios euclideos, que permite definir el concepto de ángulo y demostrar las propiedades de la norma.

Enunciado
1. En el espacio vectorial de las funciones reales de clase 2 en el intervalo $[-1,1]$ se considera el producto escalar $$\left<f(t),g(t)\right>=\int_{-1}^1\left(f(t)g(t)+f^{\prime\prime}(t)g^{\prime\prime}(t)\right)dt.$$ Hallar el ángulo formado por las funciones $f(t)=1+4t+t^2$ y $g(t)=1-t.$
2. En el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes reales y grado menor que 3 se considera el producto escalar $$\left< p,q \right>=\sum_{i=0}^3 p(i)q(i).$$ Calcular el ángulo formado por los polinomios $x^2+1$ y $x^2-3x+1.$
3. Sea $E$ un espacio euclídeo. Demostrar que se verifica la desigualdad de Schwarz: $$\left|\left<x,y\right>\right|\leq \left\|x\right\|\left\|y\right\|\quad \forall x,y\in E.$$
4. Sea $E$ un espacio euclídeo. Demostrar las propiedades
   $1)\;$ $\left\|x\right\|=0\Leftrightarrow x=0.$
   $2)\;$ $\left\|\lambda x\right\|=\left|\lambda\right|\left\|x\right\|\quad \forall\lambda\in \mathbb{R}\;\forall x\in E.$
   $3)\;$ $\left\|x+y\right\|\leq \left\|x\right\|+\left\|y\right\|\quad \forall x,y\in E\;$

Solución
1. El producto escalar de los vectores dados es $$\left<f(t),g(t)\right>=\int_{-1}^1\left((1+4t+t^2)(1-t)+0\right)dt=\ldots=0.$$ Dado que $f(t)$ y $g(t)$ son no nulos, $\left\|f(t)\right\|\left\|g(t)\right\| \neq 0.$ Por tanto $$\cos \alpha =\frac{\left<f(t),g(t)\right>}{\left\|f(t)\right\| \left\|g(t)\right\|}=0\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{2}.$$
2. Llamemos $p(x)=x^2+1$ y $q(x)=x^2-3x+1.$ Tenemos $$\left<p,q\right>=p(0)q(0)+p(1)q(1)+p(2)q(2)=1\cdot 1+2\cdot (-1)+5\cdot (-1)=-6,$$ $$\left\|{p}\right\|=\sqrt {\left<{p,p}\right>}=\sqrt{p(0)^2+p(1)^2+p(2)^2}=\sqrt{1^2+2^2+5^2}=\sqrt{30},$$ $$\left\|{q}\right\|=\sqrt {\left<{q,q}\right>}=\sqrt{q(0)^2+q(1)^2+q(2)^2}=\sqrt{1^2+(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{3}.$$ Si $\alpha\in [0,\pi]$ es el ángulo que forman $p$ y $q:$ $$\cos \alpha=\dfrac{\left<p,q\right>}{\left\|{p}\right\|\left\|{q}\right\|}=\dfrac{-6}{\sqrt{30}\sqrt{3}}=\dfrac{-6}{3\sqrt{10}}=\dfrac{-2}{\sqrt{10}}=-\dfrac{\sqrt{10}}{5}.$$ En consecuencia: $$\alpha=\arccos \left(-\dfrac{\sqrt{10}}{5}\right),\quad \left (\alpha\in [0,\pi] \right).$$
3. Sea $t\in \mathbb{R}$ y consideremos la función $p(t)=\left<x+ty,x+ty\right>.$ Por la propiedad $\left<a,a\right>\geq 0$ para todo $a\in E,$ se verifica $p(t)\geq 0$ para todo $t\in\mathbb{R}.$ Desarrollando $p(t):$ $$p(t)=\left<x+ty,x+ty\right>=\left\|x\right\|^2+2t\left<x,y\right>+t^2\left\|y\right\|^2\geq 0\;(\forall t\in\mathbb{R}).$$ El polinomio $p(t)$ es de segundo grado y no toma valores negativos, lo cual implica que no puede tener dos raíces reales distintas. En consecuencia, su discriminante ha de ser $\leq 0:$ $4\left<x,y\right>^2-4\left\|x\right\|^2\left\|y\right\|^2\leq 0.$ Equivalentemente, $\left<x,y\right>^2\leq \left\|x\right\|^2\left\|y\right\|^2,$ o bien $$\left|\left<x,y\right>\right|\leq \left\|x\right\|\left\|y\right\|\quad \forall x,y\in E.$$
4. $1)\;$ $\left\|x\right\|=0\Leftrightarrow\sqrt{\left<x,x\right>}=0\Leftrightarrow \left<x,x\right>=0\Leftrightarrow x=0.$
   $2)\;$ $\left\|\lambda x\right\|^2=\left<\lambda x,\lambda x\right>=\lambda^2\left\|x\right\|^2\Rightarrow \left\|\lambda x\right\|=\left|\lambda\right|\left\|x\right\|. $
   $3)\;$ Desarrollemos $\left\|x+y\right\|^2:$ $$\left\|x+y\right\|^2=\left<x+y,x+y\right>=\left<x,x\right>+2\left<x,y\right>+\left<y,y\right>$$ $$=\left\|x\right\|^2+2\left<x,y\right>+\left\|y\right\|^2\leq \left\|x\right\|^2+2\left|\left<x,y\right>\right|+\left\|y\right\|^2.$$ Por la desigualdad de Schwarz, $\left|\left<x,y\right>\right|\leq \left\|x\right\|\left\|y\right\|$ por tanto, $$\left\|x+y\right\|^2\leq \left\|x\right\|^2+2\left\|x\right\|\left\|y\right\|+\left\|y\right\|^2=\left(\left\|x\right\|+\left\|y\right\|\right)^2.$$ Tomando raíces cuadradas queda $\left\|x+y\right\|\leq \left\|x\right\|+\left\|y\right\|.$