Desigualdad de Schwarz, ángulos

TEORÍA

1 En el espacio vectorial de las funciones reales de clase 2 en el intervalo $[-1,1]$ se considera el producto escalar $$\left<f(t),g(t)\right>=\int_{-1}^1\left(f(t)g(t)+f^{\prime\prime}(t)g^{\prime\prime}(t)\right)dt.$$ Hallar el ángulo formado por las funciones  $f(t)=1+4t+t^2$ y  $g(t)=1-t.$

SOLUCIÓN

2 En el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes reales y grado menor que 3 se considera el producto escalar $$\left< p,q \right>=\sum_{i=0}^3 p(i)q(i).$$ Calcular el ángulo formado por los polinomios  $x^2+1$ y $x^2-3x+1.$

SOLUCIÓN

3  Sea  $E$ un espacio euclídeo. Demostrar que se verifica la desigualdad de Schwarz: $$\left|\left<x,y\right>\right|\leq  \left\|x\right\|\left\|y\right\|\quad \forall x,y\in E.$$

SOLUCIÓN

4  Sea  $E$ un espacio euclídeo. Demostrar las propiedades
$1.\;$ $\left\|x\right\|=0\Leftrightarrow x=0.$
$2.\;$ $\left\|\lambda x\right\|=\left|\lambda\right|\left\|x\right\|\quad \forall\lambda\in \mathbb{R}\;\forall x\in E.$
$3.\;$ $\left\|x+y\right\|\leq \left\|x\right\|+\left\|y\right\|\quad \forall x,y\in E\;$

SOLUCIÓN
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