Ortogonalidad en el espacio euclídeo

Proporcionamos ejercicios sobre ortogonalidad en el espacio euclídeo.

TEORÍA

1 En el espacio vectorial $\mathbb{R}_2[x]$ se considera el producto escalar $$\left<p(x),q(x)\right>=\int_{-1}^1\left(p(x)q(x)+p^{\prime\prime}(x)q^{\prime\prime}(x)\right)dx.$$ Comprobar que los vectores  $p(x)=1+4x+x^2$ y  $q(x)=1-x$ son ortogonales.

SOLUCIÓN

2  Sea  $E$ un espacio euclídeo. Demostrar que
$1.\;$ El vector $0$ es ortogonal a todos los vectores de $E$
$2.\;$ El vector $0$ es el único que satisface la propiedad anterior.
$3.\:$ Un vector es ortogonal a todos los vectores de un subespacio  $F$ de  $E$ si, y sólo si es ortogonal a los de una base de  $F.$
$4.\;$ Todo subconjunto  $S$ de  $E$ formado por vectores ostogonales dos a dos y no nulos es linealmente independiente.

SOLUCIÓN

3  Demostrar el teorema de Pitágoras:
Si $x$ e $y$ son vectores de un espacio euclídeo,  $x\perp y\Rightarrow \left\|x+y\right\|^2=\left\|x\right\|^2+\left\|y\right\|^2.$

SOLUCIÓN
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