Bases ortonormales, método de Schmidt

Proporcionamos ejercicios sobre el cálculo de bases ortonormales por el método de Schmidt.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Demostrar que la base canónica de $\mathbb{R}^n$ es ortonormal con el producto escalar usual.
  2. Ortonormalizar la base $B=\{1,x,x^2\}$ de $\mathbb{R}_2[x]$ por el método de Schmidt, con el producto escalar $$\langle p,q\rangle=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{-1}^{1}p(x)q(x)\;dx.$$
  3. En $\mathbb{R}^3$ se considera el producto escalar $$\left<x,y\right>=\begin{pmatrix}x_1,x_2,x_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{1}&{2}&{0}\\{2}&{5}&{0}\\{0}&{0}&{3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\{y_2}\\{y_3}\end{pmatrix}.$$ Ortonormalizar por el método de Schmidt la base $B=\{(2,-1,0),(3,0-4),(2,1,3)\}.$
  4. Sea $E$ espacio euclídeo de dimensión finita $n.$ Demostrar que si la base $B$ de $E$ es ortonormal, entonces para todo $x,y\in E$ se verifica $$\left<x,y\right>=x_1y_1+x_2y_2+\ldots+x_ny_n,$$ en donde $(x_1,\ldots,x_n)$ e $(y_1,\ldots,y_n)$ son los respectivos vectores de coordenadas de $x$ e $y$ en la base $B.$
  5. Sea $\{u_1,\ldots,u_m\}$ un sistema libre de un espacio euclídeo. Demostrar que existe un sistema ortonormal $\{e_1,\ldots,e_m\}$ con el mismo número de elementos tal que $$L[u_1,\ldots,u_k]=L[e_1,\ldots,e_k]\quad (\forall k,\;1\leq k\leq m).$$
  6. Sea $E$ un espacio euclídeo de dimensión finita $n$ y $B=\{u_1,u_2,\ldots,u_n\}$ una base de $E.$ Demostrar que $B’=\{e_1,e_2,\ldots,e_n\}$ es base ortonormal de $E,$ siendo $$e_1=\displaystyle\frac{u_1}{ \left\|{u_1}\right\|},\;e_2=\dfrac{u_2-\langle u_2,e_1\rangle e_1}{ \left\|{u_2-\langle u_2,e_1\rangle e_1}\right\|},$$ $$e_3=\dfrac{u_3-\langle u_3,e_2\rangle e_2-\langle u_3,e_1\rangle e_1}{ \left\|{ u_3-\langle u_3,e_2\rangle e_2-\langle u_3,e_1\rangle e_1 }\right\|},$$ $$\ldots$$ $$e_n=\dfrac{u_n-\langle u_n,e_{n-1}\rangle e_{n-1}-\cdots-\langle u_n,e_1\rangle e_1}{\left\|u_n-\langle u_n,e_{n-1}\rangle e_{n-1}-\cdots-\langle u_n,e_1\rangle e_1\right\|}.$$
    Solución
  1. Si $e_i=(0,\ldots, 1,\ldots,0)$ es el $i$-ésimo vector de la base canónica e $i\neq j,$ claramente $\left<e_i,e_j\right>=0.$ Por otra parte, $\left\|e_i\right\|=\sqrt{\left<e_i,e_i\right>}=\sqrt{1}=1$ para todo $i=1,\ldots,n.$
  2. Dada una base $B=\{u_1,u_2,u_3\}$ de un espacio euclídeo $E$ sabemos que la ortonormalizada por el método de Gram-Schmidt viene dada por $$e_1=\displaystyle\frac{u_1}{ \left\|{u_1}\right\|},\;e_2=\dfrac{u_2-\langle u_2,e_1\rangle e_1}{ \left\|{u_2-\langle u_2,e_1\rangle e_1}\right\|},$$ $$e_3=\dfrac{u_3-\langle u_3,e_2\rangle e_2-\langle u_3,e_1\rangle e_1}{ \left\|{ u_3-\langle u_3,e_2\rangle e_2-\langle u_3,e_1\rangle e_1 }\right\|}.$$ Procedemos a efectuar los cálculos para $u_1=1,\;u_2=x,\;u_3=x^2$ $$\left\|{u_1}\right\|=\sqrt{\frac{1}{2}\int_{-1}^1dx}=1\Rightarrow e_1=1,$$ $$u_2-\langle u_2,e_1\rangle e_1=x-\left(\frac{1}{2}\int_{-1}^1xdx\right)\cdot 1=x$$ $$\Rightarrow \left\|{x}\right\|=\sqrt{\frac{1}{2}\int_{-1}^1x^2dx}=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow e_2=\sqrt{3}x,$$ $$u_3-<u_3,e_2>e_2-\langle u_3,e_1\rangle e_1=x^2-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\int_{-1}^1x^3dx\right)\cdot \sqrt{3}x-$$ $$
    \left(\frac{1}{2}\int_{-1}^1x^2dx\right)\cdot 1=x^2-\frac{1}{3}\Rightarrow \left\|{x^2-\frac{1}{3}}\right\|=\sqrt{\frac{1}{2}\int_{-1}^1\left(x^2-\frac{1}{3}\right)^2dx}$$ $$=\frac{2}{3\sqrt{5}}\Rightarrow e_3=(3\sqrt{5}/2)(x^2-1/3).$$ La base pedida es por tanto $B’=\{1, \;\sqrt {3}x,\;(3\sqrt{5}/2)(x^2-1/3)\}.$
  3. Para facilitar los cálculos expresamos $$\left<x,y\right>=x_1y_1+5x_2y_2+x_3y_3+2x_1y_2+2x_2y_1.$$ Llamamos $u_1=(2,-1,0),\;u_2=(3,0-4),\;u_3=(2,1,3)\}.$ Sea $B’=\{e_1,e_2,e_3\}$ la base pedida. Vector $e_1:$ $$\left\|{u_1}\right\|=\sqrt{\left<(2,-1,0),(2,-1,0)\right>}=1\Rightarrow e_1=(2,-1,0).$$ Vector $e_2:$ $$u_2-\langle u_2,e_1\rangle e_1=(3,0-4)-\langle (3,0-4),(2,-1,0)\rangle\cdot (2,-1,0)$$ $$(3,0-4)-0\cdot (2,-1,0)=(3,0,-4)$$ $$\Rightarrow \left\|(3,0,-4)\right\|=\sqrt{\left<(3,0,-4),(3,0,-4)\right>}=\sqrt{25}=5$$ $$\Rightarrow e_2=\frac{1}{5}(3,0,-4).$$ Vector $e_3:$ $$u_3-\langle u_3,e_2\rangle e_2-\langle u_3,e_1\rangle e_1=(2,1,3)-\frac{1}{5}\left<(2,1,3),(3,0,-4)\right>\cdot\frac{1}{5}(3,0,-4)$$ $$-\langle (2,1,3),(2,-1,0)\rangle \cdot(2,-1,0)=(2,1,3)-0\cdot \frac{1}{5}(3,0,-4)$$ $$-(-1)\cdot (2,-1,0)=(4,0,3)\Rightarrow \left\|(4,0,3)\right\|$$ $$=\sqrt{\left<(4,0,3),(4,0,3)\right>}=\sqrt{25}=5\Rightarrow e_3=\frac{1}{5}(4,0,3).$$ La base pedida es por tanto $$\;B’=\left\{(2,-1,0),\;\dfrac{1}{5}(3,0,-4),\;\dfrac{1}{5}(4,0,3)\right\}.$$
  4. Si la base $B=\{e_1,\ldots,e_n\}$ es ortonormal, se verifica $\left<e_i,e_j\right>=0$ si $i\neq j$ y $\left<e_i,e_i\right>=1$ para todo $i=1,\ldots,n.$ Por tanto, para todo $x,y\in E:$ $$\left<x,y\right>=\begin{pmatrix}x_1,x_2,\ldots,x_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \langle e_1,e_1\rangle & \langle e_1,e_2\rangle & \ldots & \langle e_1,e_n\rangle\\ \langle e_2,e_1\rangle &\langle e_2,e_2\rangle & \ldots & \langle e_2,e_n\rangle \\ \vdots&&&\vdots \\ \langle e_n,e_1\rangle & \langle e_n,e_2\rangle &\ldots & \langle e_n,e_n\rangle\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\{y_2}\\ \vdots\\{y_n}\end{pmatrix}$$ $$=\begin{pmatrix}x_1,x_2,\ldots,x_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & \ldots & 0\\ 0 & 1 & \ldots & 0\\ \vdots&&&\vdots \\ 0 & 0 &\ldots & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\{y_2}\\ \vdots\\{y_n}\end{pmatrix}=x_1y_1+x_2y_2+\ldots+x_ny_n.$$
  5. Para $m=1$ es inmediato pues $u_1\neq 0$ y basta normalizar $u_1,$ es decir formar el vector de norma 1: $$e_1=\frac{u_1}{\left\|u_1\right\|}.$$ Supongamos que la propiedad es cierta para $m-1$ y que $\{u_1,\ldots,u_m\}$ es un sistema libre. Por la hipótesis de inducción existe un sistema ortonormal $\{e_1,\ldots,e_{m-1}\}$ de vectores tal que $$L[u_1,\ldots,u_k]=L[e_1,\ldots,e_k]\quad (\forall k,\;1\leq k\leq m-1).$$ Queremos hallar un vector $w_m$ no nulo que sea ortogonal a $\{e_1,\ldots,e_{m-1}\}$ y que pertenezca a $$L[u_1,\ldots,u_{m-1},u_m]=L[e_1,\ldots,e_{m-1},u_m].$$ Elijamos $w_m$ de la forma $$w_m=\lambda_1 e_1+\ldots\lambda_{m-1}e_{m-1}+u_m.$$ Obligando a que el producto escalar de $w_m$ con $e_j$ ($j=1,\ldots,m-1$) sea nulo: $$\left<w_m,e_j\right>=\lambda_j+\left<u_m,e_j\right>=0,$$ en consecuencia $$w_m=-\left<u_m,e_1\right>e_1-\cdots-\left<u_m,e_{m-1}\right>e_{m-1}+u_m.$$ El vector $w_m$ es por tanto ortogonal a $\{e_1,\ldots,e_{m-1}\}$ y es además no nulo pues si lo fuera, $$u_m\in L[e_1,\ldots,e_{m-1}]=L[u_1,\ldots,u_{m-1}]$$ y el sistema $\{u_1,\ldots,u_m\}$ no sería libre. Normalizando $w_n,$ es decir tomando $$e_m=\frac{w_m}{\left\|w_m\right\|},$$ obtenemos un sistema ortonormal $\{e_1,\ldots,e_m\}$ que cumple las condiciones $$L[u_1,\ldots,u_k]=L[e_1,\ldots,e_k]\quad (\forall k,\;1\leq k\leq m-1),$$ $$L[u_1,\ldots,u_{m-1},u_m]=L[e_1,\ldots,e_{m-1},e_m],$$ lo cual completa la demostración.
  6. Si $B=\{u_1,u_2,\ldots,u_n\}$ una base de $E,$ entonces $\{u_1,u_2,\ldots,u_m\}$ es sistema libre para todo $1\leq m\leq n$. Basta aplicar recurrentemente las fórmulas $$w_m=u_m-\left<u_m,e_1\right>e_1-\cdots-\left<u_m,e_{m-1}\right>e_{m-1},\; e_m=\frac{w_m}{\left\|w_m\right\|}$$ del problema anterior.
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