Bases ortonormales, método de Schmidt

Proporcionamos ejercicios sobre el cálculo de bases ortonormales por el método de Schmidt.

TEORÍA

1 Demostrar que la base canónica de  $\mathbb{R}^n$ es ortonormal con el producto escalar usual.

SOLUCIÓN

2 Ortonormalizar la base  $B=\{1,x,x^2\}$ de  $\mathbb{R}_2[x]$ por el método de Schmidt, con el producto escalar $$\langle p,q\rangle=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{-1}^{1}p(x)q(x)\;dx.$$

SOLUCIÓN

3 En  $\mathbb{R}^3$ se considera el producto escalar $$\left<x,y\right>=\begin{pmatrix}x_1,x_2,x_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{1}&{2}&{0}\\{2}&{5}&{0}\\{0}&{0}&{3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\{y_2}\\{y_3}\end{pmatrix}.$$ Ortonormalizar por el método de Schmidt la base $B=\{(2,-1,0),(3,0-4),(2,1,3)\}.$

SOLUCIÓN

4  Sea  $E$ espacio euclídeo de dimensión finita  $n.$ Demostrar que si la base $B$ de  $E$ es ortonormal, entonces para todo  $x,y\in E$ se verifica $$\left<x,y\right>=x_1y_1+x_2y_2+\ldots+x_ny_n,$$ en donde $(x_1,\ldots,x_n)$ e  $(y_1,\ldots,y_n)$ son los respectivos vectores de coordenadas de  $x$ e  $y$   en la base  $B.$

SOLUCIÓN

5 Sea  $\{u_1,\ldots,u_m\}$ un sistema libre de un espacio euclídeo. Demostrar que existe un sistema ortonormal $\{e_1,\ldots,e_m\}$ con el mismo número de elementos tal que $$L[u_1,\ldots,u_k]=L[e_1,\ldots,e_k]\quad (\forall k,\;1\leq k\leq m).$$

SOLUCIÓN

6  Sea  $E$ un espacio euclídeo de dimensión finita  $n$ y  $B=\{u_1,u_2,\ldots,u_n\}$ una base de $E.$ Demostrar que  $B’=\{e_1,e_2,\ldots,e_n\}$ es base ortonormal de  $E,$ siendo $$e_1=\displaystyle\frac{u_1}{ \left\|{u_1}\right\|},\;e_2=\dfrac{u_2-\langle u_2,e_1\rangle e_1}{ \left\|{u_2-\langle u_2,e_1\rangle e_1}\right\|},$$ $$e_3=\dfrac{u_3-\langle u_3,e_2\rangle e_2-\langle u_3,e_1\rangle e_1}{ \left\|{ u_3-\langle u_3,e_2\rangle e_2-\langle u_3,e_1\rangle e_1 }\right\|},$$ $$\ldots$$ $$e_n=\dfrac{u_n-\langle u_n,e_{n-1}\rangle e_{n-1}-\cdots-\langle u_n,e_1\rangle e_1}{\left\|u_n-\langle u_n,e_{n-1}\rangle e_{n-1}-\cdots-\langle u_n,e_1\rangle e_1\right\|}.$$

SOLUCIÓN
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