Subespacio ortogonal

Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de subespacio ortogonal.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Sea $E$ un espacio euclídeo y $S$ un subconjunto de $E.$ Demostrar que $S^{\perp}$ es subespacio de $E.$
  2. Sea el espacio euclídeo $\left(\mathbb{R}^3,\left<\;,\;\right>\right)$ con $$\left<(x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3)\right>=x_1y_1+2x_2y_2+3x_3y_3.$$ Determinar una base de $F^{\perp}$ siendo $F$ el subespacio de $\mathbb{R}^3$ de ecuación $$x_1+x_2+2x_3=0.$$
  3. En el espacio $\mathbb{R}_2[x]$ con el producto escalar $\left<p(x),q(x)\right>= \int_0^1p(x)q(x)\;dx$ determinar el subespacio ortogonal al $F=L[1,x].$
  4. Sea $E$ espacio euclídeo. Demostrar que
    $(i)$ $M\subset N\Rightarrow N^{\perp}\subset M^{\perp}$ para $M,N$ subconjuntos de $E.$
    $(ii)$ $F\cap F^{\perp}=\{0\}$ para $F$ subespacio de $E.$
    $(iii)$ $M\subset \left(M^{\perp}\right)^{\perp}$ para $M$ subconjunto de $E.$
  5. Si $E$ es espacio euclídeo de dimensión finita y $F$ es subespacio de $E,$ demostrar que $E=F\oplus F^{\perp}.$
    Solución
  1. $(i)\;$ El vector nulo $0$ de $E$ es ortogonal a todos los de $E,$ en particular a todos los de $S,$ luego $0\in S^{\perp}.$
    $(ii)\;$ Sean $x,x’\in S^{\perp}.$ Entonces, para todo $y\in S$ se verifica $$\left<x+x’,y\right>=\left<x,y\right>+\left<x’,y\right>=0+0=0,$$ en consecuencia $x+x’\in S^{\perp}.$
    $(iii)\;$ Sea $\lambda\in \mathbb{R}$ y $x\in S^{\perp}.$ Para todo $y\in S$ se verifica $$\left<\lambda x,y\right>=\lambda \left<x,y\right>=\lambda\cdot 0=0,$$ en consecuencia $\lambda x\in S^{\perp}.$ Concluimos que $S^{\perp}$ es subespacio de $E.$
  2. Para que un vector $(x_1,x_2,x_3)$ sea ortogonal a todos los de $F,$ basta que sea ortogonal a los de una base de $F.$ Una base de $F$ es $B_F=\{(1,-1,0),(-2,0,1)\},$ por tanto $$F^{\perp}\equiv \left \{ \begin{matrix} \left<(x_1,x_2,x_3),(1,-1,0)\right>=0 \\\left<(x_1,x_2,x_3),(-2,0,1)\right>=0\end{matrix}\right.\equiv \left \{ \begin{matrix} x_1-2x_2=0 \\-2x_1+3x_3=0,\end{matrix}\right.$$ y una base de $F^{\perp}$ es $B_{F^{\perp}}=\{(6,3,4)\}.$
  3. Una base de $F$ es $B_F=\{1,x\}.$ Un vector $a+bx+cx^2$ de $\mathbb{R}_2[x]$ pertenece a $F^{\perp}$ sí, y sólo si, $$\left \{ \begin{matrix} \left<a+bx+cx^2,1\right>=\int_0^1(a+bx+cx^2)\;dx=0\\\left<a+bx+cx^2,x\right>=\int_0^1(ax+bx^2+cx^3)\;dx=0.\end{matrix}\right.$$ Integrando obtenemos $$F^{\perp}\equiv\left \{ \begin{matrix} a+\frac{b}{2}+\frac{c}{3}=0\\\frac{a}{2}+\frac{b}{3}+\frac{c}{4}=0\end{matrix}\right.$$ Y una base de $F^{\perp}$ (en coordenadas en la base canónica de $\mathbb{R}_2[x]$) es $\{(1,-6,6)\}$ por tanto $F^{\perp}=L[1-6x+6x^2].$
  4. $(i)$ Si $x\in N^{\perp}$ entonces $\left<x,y\right>=0$ para todo $y\in N.$ Como $M\subset N,$ $\left<x,y\right>=0$ para todo $y\in M,$ luego $x\in M^{\perp}.$
    $(ii)$ Si $x\in F\cap F^{\perp}=\{0\},$ entonces $x\in F$ y $x\in M^{\perp}$ por tanto $\left<x,x\right>=0,$ luego necesariamente $x=0.$ Por otra parte, al ser $F$ y $F^{\perp}$ subespacios de $E,$ ambos contienen al vector nulo, en consecuencia $F\cap F^{\perp}=\{0\}.$
    $(iii)$ Si $x\in M$ entonces $\left<x,y\right>=0$ para todo $y\in M^{\perp}$ por tanto $x\in \left(M^{\perp}\right)^{\perp}.$
  5. Sea $B_F=\{e_1,\ldots,e_r\}$ una base ortonormal de $F.$ Ampliando, obtenemos una base de $E,$ $$B=\{e_1,\ldots,e_r,u_{r+1},\ldots,u_n\}.$$ Aplicando el método de Schmidt a $B,$ obtenemos la base ortonormal de $E$ $$B’=\{e_1,\ldots,e_r,e_{r+1},\ldots,e_n\}.$$ Veamos que $F^{\perp}=L[e_{r+1},\ldots,e_n],$ lo cual demostrará que $E=F\oplus F^{\perp}.$ Efectivamente sea $x\in E$ con $x=x_1e_1+\cdots+x_ne_n,$ entonces $$x\in F^{\perp}\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} \left<x,e_1\right>=0\\\ldots\\\left<x,e_r\right>=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} x_1=0\\\ldots\\x_r=0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow x=x_{r+1}e_{r+1}+\cdots+x_ne_n\Leftrightarrow x\in L[e_{r+1},\ldots,e_n].$$ Nota. Los casos $F=\{0\}$ y $F=E$ son triviales.
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