Subespacio ortogonal

Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de subespacio ortogonal.

TEORÍA

1  Sea  $E$ un espacio euclídeo y  $S$ un subconjunto de $E.$ Demostrar que $S^{\perp}$ es subespacio de $E.$

SOLUCIÓN

2 Sea el espacio euclídeo $\left(\mathbb{R}^3,\left<\;,\;\right>\right)$ con $$\left<(x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3)\right>=x_1y_1+2x_2y_2+3x_3y_3.$$ Determinar una base de $F^{\perp}$ siendo $F$ el subespacio de $\mathbb{R}^3$ de ecuación $$x_1+x_2+2x_3=0.$$

SOLUCIÓN

3  En el espacio $\mathbb{R}_2[x]$ con el producto escalar $\left<p(x),q(x)\right>= \int_0^1p(x)q(x)\;dx$ determinar el subespacio ortogonal al $F=L[1,x].$

SOLUCIÓN

4  Sea $E$ espacio euclídeo. Demostrar que
$(i)$  $M\subset N\Rightarrow N^{\perp}\subset M^{\perp}$ para $M,N$ subconjuntos de $E.$
$(ii)$  $F\cap F^{\perp}=\{0\}$ para $F$ subespacio de $E.$
$(iii)$  $M\subset \left(M^{\perp}\right)^{\perp}$  para $M$ subconjunto de $E.$

SOLUCIÓN

5  Si $E$ es espacio euclídeo de dimensión finita y $F$ es subespacio de $E,$ demostrar que $E=F\oplus F^{\perp}.$

SOLUCIÓN
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