Proyección ortogonal

Proporcionamos ejercicios sobre la proyección ortogonal sobre un subespacio.

TEORÍA

1 En $\mathbb{R}^3$ con el producto escalar $$\left<(x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3)\right>=x_1y_1+2x_2y_2+3x_3y_3,$$ hallar la proyección ortogonal del vector $x=(1,1,1)$ sobre el subespacio $$F\equiv x_1+x_2+2x_3=0.$$

SOLUCIÓN

2 En el espacio $\mathbb{R}_2[x]$ con el producto escalar $\left<p(x),q(x)\right>= \int_0^1p(x)q(x)\;dx$ determinar la proyección ortogonal del vector $x^2$ sobre el subespacio $F=L[1,x].$

SOLUCIÓN

3 En el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor o igual que 2 se define el producto escalar $$\langle p,q\rangle=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{-1}^{1}p(x)q(x)\;dx.$$ Hallar una base ortonormal del subespacio $F=L[1,x]$ y como aplicación, la proyección ortogonal del vector $x^2$ sobre $F.$

SOLUCIÓN

4  Sea $E$ espacio euclídeo de dimensión finita, $F$ subespacio de $E$ y $p_F:E\to E$ la aplicación que a cada vector $x$ de $E$ le hace corresponder su proyección ortogonal sobre $F,$  $p_F(x).$ Demostrar que
$(i)\;$  $p_F$ es lineal.
$(ii)$  $p_F$ es idempotente, es decir  $p_F\circ p_F=p_F.$

SOLUCIÓN

5  Sea $E$ espacio vectorial euclídeo de dimensión finita, y $\{e_1,\ldots,e_r\}$ una base ortonormal de $F.$ Demostrar que para todo $x\in E$ la proyección ortogonal de $x$ a $F$ es $$p_F(x)=\left<x,e_1\right>e_1+\cdots+\left<x,e_r\right>e_r.$$

SOLUCIÓN
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