Matrices ortogonales

Proporcionamos ejercicios sobre matrices ortogonales.

TEORÍA

1  $(a)\;$ Demostrar que una matriz $A$ es ortogonal si, y sólo si $A^tA=I.$
$(b)\;$Comprobar que las siguientes matrices son ortogonales: $$M=\begin{bmatrix}{\cos \alpha}&-\operatorname{sen}\alpha\\{\operatorname{sen}\alpha}&{\cos \alpha}\end{bmatrix},\quad N=\dfrac{1}{3}\begin{bmatrix}{2}&{-2}&{1}\\{2}&{1}&{-2}\\{1}&{2}&{2}\end{bmatrix}.$$

SOLUCIÓN

2  Demostrar las propiedades
$(a)\;$ El producto de dos matrices ortogonales y del mismo orden es una matriz ortogonal.
$(b)\;$ La matriz identidad de cualquier orden es ortogonal.
$(c)\;$ La inversa de una matriz ortogonal es ortogonal.
Nota. Estas propiedades garantizan que el conjunto de las matrices ortogonales y del mismo orden tiene estructura de grupo con respecto de la multiplicación.

SOLUCIÓN

3  Demostrar las propiedades
$(a)\;$ La traspuesta de una matriz ortogonal es ortogonal.
$(b)\;$ El determinante de una matriz ortogonal es $1$ o $-1.$
$(c)\;$ Si $\lambda$ es valor propio real de una matriz ortogonal, entonces $\lambda=1$ o $\lambda=-1.$

SOLUCIÓN

4  Demostrar que una matriz $A$ es ortogonal si, y sólo si sus vectores columnas forman un sistema ortonormal con el producto escalar usual.

SOLUCIÓN

5 Determinar los valores de $s$ y $t$ para los cuales es ortogonal la matriz $$A=\dfrac{1}{7}\begin{bmatrix}{2}&{t}&{s}\\{3}&{s}&{2}\\{s}&{-2}&{t}\end{bmatrix}.$$

SOLUCIÓN

6 Demostrar que cualquier matriz ortogonal de orden $2$ tiene alguna de las dos formas $$\begin{bmatrix}{\cos \theta}&-\operatorname{sen}\theta\\{\operatorname{sen}\theta}&{\cos \theta}\end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix}{\cos \theta}&\operatorname{sen}\theta\\{\operatorname{sen}\theta}&{-\cos \theta}\end{bmatrix}$$

SOLUCIÓN

7  Demostrar que en un espacio euclídeo de dimensión finita, la matriz de cambio de una base ortonormal a otra ortonormal es ortogonal.

SOLUCIÓN

8 Si $A$ y $B$ son matrices ortogonales y del mismo orden, entonces $AB$ y $BA$ también son matrices ortogonales, pero no siempre la suma lo es. Se trata de encontrar todas las parejas de matrices ortogonales de orden dos y de orden tres tales que $S=A+B$ sea ortogonal.
$1.$ Supongamos que $B$ es la matriz identidad de orden dos ($B=I$). Determinar todas las matrices ortogonales de orden dos $A$ de manera que la suma $S=A+I$ sea ortogonal.
$2.$ Supongamos que $B$ es una matriz ortogonal dada de orden dos (no necesariamente la identidad). Determinar todas las matrices ortogonales $A$ tales que $S=A+B$ sea ortogonal.
Indicación. Multiplicar por la izquierda por $B^T$ los dos miembros de la igualdad.
$3.$ Las mismas cuestiones suponiendo matrices de orden tres.

SOLUCIÓN
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